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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Differentialrechnung in IR » Integral über differenzierbare Funktionen differenzieren
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Universität/Hochschule Integral über differenzierbare Funktionen differenzieren
Potheker
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 63
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-21 14:18


Gegeben seien $f,g \in C^1(\mathbb{R})$, untersuche die durch

$$F(t) = \int_0^t f(t-s)g(s) ds$$

gegebene Funktion auf Differenzierbarkeit und bestimme gegebenenfalls ihre Ableitung.

Nun habe ich zunächst die Definition eingesetzt:

$\begin{split}
F'(t) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \int_0^{t+h} f(t+h-s)g(s) ds - \int_0^t f(t-s)g(s) ds \right] \\
 &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\int_0^{t}\frac{1}{h} [f(t+h-s)- f(t-s)]g(s) ds \\
&+ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \int_t^{t+h} \frac{1}{h}f(t+h-s)g(s) ds
\end{split}$

Nun schätze ich mal, dass ich jetzt den ersten Grenzwert in das Integral ziehen will, dafür bräuchte ich aber zB gleichmäßige Konvergenz. Ich kann die Funktionen durch ihre Einschränkungen auf ein Kompaktum ersetzen, aber das bringt immernoch keine glm. Konvergenz.

Bei dem zweiten Summanden habe ich allerdings noch gar keine Idee...



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4037
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-22 07:26


Kann man vielleicht den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden?

Zur Kompaktheit: Beachte, dass $F(t)$ nur von $f|_{[0,t]}$ und $g|_{[0,t]}$ abhängt.

EDIT: Noch eine andere Idee: Kennst du die Fourier-Transformation? Die hat ja die angenehme Eigenschaft, die Faltung in Multiplikation zu übersetzen.



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wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2031
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-22 13:34


Hallo,

lass mich das Problem zunächst etwas allgemeiner formulieren. Du möchtest die Ableitung einer Funktion berechnen, die durch
$$F(t)=\int_0^t h(s,t) \mathrm{d}s$$
gegeben ist und $h$ eine stetig differenzierbare Funktion ist.

Zunächst ist $F(t)$ für jedes $t$ wohldefiniert, denn die Funktion $h_t(s):=h(s,t)$ ist auf jedem Intervall der Form $[0,t]$ stetig und somit beschränkt. Das Integral existiert also.

Mithilfe der Transformationsformel zeigt man dann leicht, dass
$$F(t)=t \int_0^1 h(t u,t) \mathrm{d} u$$
gilt.

Die Ableitung kann nun in das Integral gezogen werden, denn das Integral geht nun über ein kompaktes Intervall. Die partielle Ableitung nach $t$ ergibt dann mit Produkt- und Kettenregel
$$F'(t)=\int_0^1 h(tu,t)+tu D_1 h(tu,t)+t D_2 h(tu,t)\mathrm{d} u$$
wobei der letzte Summand nach der Transformationsformel wieder $\int_0^t D_2 f(s,t)\mathrm{d}s$ ergibt.

Eine Stammfunktion für die ersten beiden Terme ist $H(u,t)=u f(tu,t)$, wie man durch Ableiten nach $u$ nachprüft.

Insgesamt erhält man dann
$$F'(t)=\int_0^t D_2 h(s,t)\mathrm{d}s+h(t,t)$$
und damit eine explizite Form der Ableitung. Da kann man jetzt natürlich noch die explizite Form von $h$ einsetzen.





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