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Mathematik » Zahlentheorie » Collatz Summe aller Reziprokwerte < Wurzel 3
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Kein bestimmter Bereich Collatz Summe aller Reziprokwerte < Wurzel 3
haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-21 20:39


Habe mir mal die Summen für die reziproken Werte im Collatz-Algorithmus angesehen und zwar die ungeraden Zahlen von $1..10^6$. Dabei ist heraus gekommen dass alle Summen kleiner als $\sqrt{3}$ sind. Der Maximalwert beträgt für die erste Millionen Zahlen $\approx 1,6898$, was vermuten lässt dass es möglicherweise für alle Zahlen gilt.
Beispiel n=15
$$\sum_{n=15}^1 \frac{1}{n}=\frac{1}{15}+\frac{1}{23}+\frac{1}{35}+\frac{1}{53}+\frac{1}{5}+\frac{1}{1}=1,3575$$




-----------------
Gruß haegar90



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trunx
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Mitteilungen: 2804
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-21 21:21

\(\begingroup\)\( \usepackage{setspace}\)
ob dem wirklich so ist, wäre anhand langer Folgen zu prüfen und lange Folgen ergeben sich regelmäßig bei Zahlen der Form \(n=2^k -1\)

bye trunx

ps: man könnte natürlich auch die jeweiligen Rekordwerte für lange Folgen nutzen, dort sind dann zusätzlich die beteiligten Folgenglieder klein, also die Reziproken groß.


-----------------
das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.
\(\endgroup\)


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Slash
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Dabei seit: 23.03.2005
Mitteilungen: 7601
Aus: Cuxhaven-Sahlenburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-21 21:28


Rekordzahlen findet man bei Eric. cool



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haegar90
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Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 136
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-22 10:52


Das ist ja interessant, es ergibt sich der Maximalwert $\approx 1,68986$ bei den zuvor berechneneten reziproken Summen bis $10^6$ mit der Startzahl $n=$993, welche auch bei Eric bereits Erwähnung gefunden hat.

Nimmt man die beiden Endwerte $\frac{1}{5}+\frac{1}{1}=1,2$, welche mit $(5,...85,341,..)$ für alle Zahlen die im Zykel $(..4,2,1)$ enden gleich sind, heraus, so hätte man  für die Vermutung eine noch schärfere Grenze von $$\sum_{n_0}^{n_e}\frac{1}{n}<\frac{1}{2}$$

Kleine Spielerei  smile abgewandelt von "Kaprekar's constant"
Bereits nach einem Schritt mit "$594$" gleiche Ziffern.
993	399	594
954	459	495




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Gruß haegar90



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