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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » partielle Ableitungen
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Universität/Hochschule partielle Ableitungen
StudentAachenJ
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-21 23:56


Es seien f,g: R --> R zwei auf R (mindestens) zweimal stetig differenzierbare Funktionen.
Definiere eine Funktion h: R^2 --> R durch h((x,y))=f(2x + g(y)).
a) Begründen Sie, dass h zweimal stetig partiell differenzierter ist.
b) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnungen h, ausgedrückt durch die Funktionen f und g und deren Ableitungen.

Zu a):
1.) 2x ist als Polynom beliebig oft nach x stetig und differenzierbar
     2x ist als Konstante beliebig oft nach y stetig und differenzierbar
2.) g(y) ist nach Voraussetzung (Aufgabenstellung) (mindestens) zwei mal stetig und differenzierbar
     g(y) ist nach Voraussetzung und als Konstante mindestens zwei mal nach x stetig und
     differenzierbar
3.) 2x + g(y) ist als Summe stetig differenzierterer Funktionen zwei mal stetig partiell differenzierbar
Wie mach ich dies jetzt genau mit f?

Zu b)
ist das so einfach wie ich denke?
Weil a) gibt einen Punkt und b) gibt 3 Punkte



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StudentAachenJ
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-22 00:21


zu b)
2*f´(2x+g(y)) als erste Ableitung nach x
g´(y)*f´(2x+g(y)) als erste Ableitung nach y

4*f´´(2x + g(y)) als zweite Ableitung nach x nach x
und so weiter



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-22 00:25

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2019-10-21 23:56 - StudentAachenJ im Themenstart schreibt:
Es seien f,g: R --> R zwei auf R (mindestens) zweimal stetig differenzierbare Funktionen.
Definiere eine Funktion h: R^2 --> R durch h((x,y))=f(2x + g(y)).
a) Begründen Sie, dass h zweimal stetig partiell differenzierter ist.
b) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnungen h, ausgedrückt durch die Funktionen f und g und deren Ableitungen.

Zu a):
1.) 2x ist als Polynom beliebig oft nach x stetig und differenzierbar
     2x ist als Konstante beliebig oft nach y stetig und differenzierbar
2.) g(y) ist nach Voraussetzung (Aufgabenstellung) (mindestens) zwei mal stetig und differenzierbar
     g(y) ist nach Voraussetzung und als Konstante mindestens zwei mal nach x stetig und
     differenzierbar
3.) 2x + g(y) ist als Summe stetig differenzierterer Funktionen zwei mal stetig partiell differenzierbar
Wie mach ich dies jetzt genau mit f?

Zu b)
ist das so einfach wie ich denke?
Weil a) gibt einen Punkt und b) gibt 3 Punkte

Hallo.
Wie ist denn die Partielle Ableitung definiert?
Wenn du in $h$ eine Variable konstant lässt, dann ist die Partielle Ableitung die gewöhnliche Ableitung dieser Funktion.
$h$ ist partiell diffbar, wenn für jede Konstante die du entweder für $x$ oder $y$  einsetzt die resultierende Funktion in einer Variablen diffbar ist. Nehmen wir also $y=c$ als konstant an.
Ist die Funktion $h(-,c)=f(2x+g(c))$ diffbar? Wenn ja, warum?
Das gleiche musst du auch mit $x=c$ machen.
$\viele$



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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StudentAachenJ
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-22 00:37


Hallo xiao_shi_tou_

Danke für deine Antwort, damit ist mir Aufgabenteil a) bereits klar und wie sieht es mit b) aus?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-22 08:56

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

deine bishereigen Rechnungen zum Aufgabenteil b) sind richtig. Verwende für partielle Ableitungen auf jeden Fall eine andere Schreibweise, für die ersten Ableitungen nach x bzw. y etwa \(f_x\) und \(f_y\). Bei den zweiten Ableitungen dann \(f_{xx},\ f_{xy}, f_{yx}\ \text{und }f_{yy}\). Wobei hier \(f_{xy}=f_{yx}\) ist (warum?).

Für den Aufgabenteil b) musst du also einfach noch die fehlenden Ableitungen berechnen.

Bei der a) folgt die Behauptung aus deinen Punkten 1-3.

EDIT: es fehlt nur noch der Hinweis, dass laut Aufgabe auch die Funktion \(f\) zweimal deteig differenzierbar ist.

xiao_shi_tou wollte dir (wenn ich ihn richtig verstanden habe) durch seine Rückfragen aufzeigen, wie du dich selbst von der Richtigkeit deiner Überlegungen überzeugen kannst.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
xiao_shi_tou_
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2019-10-22 08:56 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
...
xiao_shi_tou wollte dir (wenn ich ihn richtig verstanden habe) durch seine Rückfragen aufzeigen, wie du dich selbst von der Richtigkeit deiner Überlegungen überzeugen kannst.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]

Ja, so war das gemeint :).



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