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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Beweis: Streichen linear abhängiger Elemente aus einem Körper
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis: Streichen linear abhängiger Elemente aus einem Körper
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 376
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-22 23:45


Hallo,

seien $r_1,...,r_n\in\mathbb{Q}$ nicht sämtlich $0$, $i\in\{1,...,n\}$ und $a_i=r_1a_1+...+r_{i-1}a_{i-1}+r_{i+1}a_{i+1}+...+r_na_n$.

Könnt Ihr bitte einen *ganz kurzen und einfachen* Beweis dafür aufschreiben, dass $\mathbb{Q}(a_1,...,a_i,...,a_n)=\mathbb{Q}(a_1,...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_n)$?

(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)

Vielen, vielen Dank.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4031
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-22 23:50


Was sind die $a_i$ bzw. woher kommen sie? (Leider fallen viele deiner Posts dadurch auf, dass viele Variablen nicht erklärt werden.)

Jeder Körper,der $a_1,\dotsc,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc,a_n$ enthält, enthält auch $a_i$ (wegen der Gleichung). Also folgt die Behauptung direkt aus der Definition des von Elementen erzeugten Teilkörpers: $\IQ(S)$ ist der kleinste Teilkörper des umgebenden Körpers (den du gar nicht genannt hast), der $S$ enthält.



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IVmath
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Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 376
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23 00:00


1.) Muss denn der umgebende Teilkörper genannt werden?

2.) Ist das Ganze offensichtlich, so dass gar kein Beweis nötig ist?



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4031
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-23 07:42


1) Ja. Du kannst auch einen beliebigen Körper $E/\IQ$ nehmen und $a_i \in E$ voraussetzen. Aber wenigstens muss einmal genannt werden, wo die $a_i$ herkommen.

2) (Weil du die Frage aus dem anderen Thread kopierst, gestatte ich es mir, die Antwort zu kopieren.) Es ist immer ein Beweis nötig. Ich habe den Beweis doch im Wesentlichen hingeschrieben. Weil du ihn aber offenbar noch nicht ganz verstanden hast, musst du noch weitere Schritte (die aber lediglich im Wiederholen der Definitionen bestehen) einfügen.



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IVmath
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Dabei seit: 29.07.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23 17:29


Alles klar. Vielen, vielen Dank. Deine Hinweise helfen mir sehr.
(Da es wohl sonst niemand macht, muss wohl  i c h  meine Vermutung aus LinkZusammenarbeit für Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in geschlossener Form gesucht beweisen.)



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-24 00:19


Hast du das Argument verstanden?



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-24 20:48


Das Argument aus 1) und das Argument aus 2): ja.



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IVmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
IVmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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