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Universität/Hochschule J cont(x) | cont(y)
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-28

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Abend,

es wird bei Bosch folgendes bewiesen und ich verstehe dabei einen Schritt nicht:
Sei F ein endlicher freier Modul, M ein Untermodul vom Rang n.
Es gibt ein $x \in M \text{ mit } \text{ cont}(x) | \text{ cont}(y)  \forall y \in M$.

Der Beweisschritt:

Bereits bewiesen wurde:
(i): Zu $x \in F$ gibt es ein $\phi \in F^* \text{ mit } \phi(x) = \text{ cont } (x)$
(ii): Zu $x \in F$ und $\psi \in F^*$ gilt $\text{cont}(x) | \psi(x)$.


x wurde hier als das maximale x gewählt, sodass $\text{ cont}(x)A$ maximal im Sinne einer Inklusionskette ist. (A ist hier der Ring über dem die Moduln sind, A ist zudem ein Hauptidealring).
$\phi(x)$ ist gleich $\text{ cont}(x)$.

Außerdem wurde beweisen, dass $\phi(x) | \phi(y) \forall y$ gilt.

... Um $\text{ cont}(x) | \text{ cont}(y)$ zu erhalten, genügt es gemäß (i) die Relation $\phi(x) | \psi(y)$ zu zeigen. (ich gehe davon aus $\psi(y)$ wurde hier als $\text{ cont}(y)$ gewählt.)
Da $\phi(x) | \psi(x)$ wegen (ii) gilt sowie $\phi(x) | \phi(y)$ gilt dürfen wir $y$ durch $y - \frac{\phi(y)}{\phi(x)}x$ ersetzen und $\phi(y) = 0$ annehmen.

--

Wieso darf man das ersetzen? Und Wieso darf man das annehmen.
Dass der Bruch in A ist, ist klar, aber das hilft mir nicht.

Vielen Dank,
Lukas


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. :-)
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-01


Es ist $\psi \in F^*$ beliebig, das schreibt Bosch auch.

Setze $y' := y - \frac{\phi(y)}{\phi(x)} \cdot x$. Beobachte, dass $\phi(y') = 0$ gilt.

Angenommen, wir hätten die Behauptung für $y'$ bewiesen, also es gilt $\phi(x) \mid \psi(y')$.

Nun ist $\psi(y') = \psi(y) - \frac{\phi(y)}{\phi(x)} \cdot \psi(x)$.

Aus $\phi(x) \mid \psi(x)$ und $\phi(x) \mid \psi(y')$ folgt daher $\phi(x) \mid \psi(y)$, also die Behauptung für $y$.

Wenn wir also die Behauptung für $y'$ bewiesen haben, haben wir sie auch für $y$. Aber $y'$ hat die schöne Eigenschaft $\phi(y')=0$, die $y$ nicht hat. Was man nun hier üblicherweise macht, ist sich die Umbenennung zu sparen, und einfach $y$ statt $y'$ zu schreiben, auch wenn eigentlich (wie oben erklärt) ein anderes Element gemeint ist.

PS: Der LaTeX-Befehl für Teilbarkeit ist \mid. Wenn du einfach | schreibst, sind die Abstände zu klein.



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LukasNiessen
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Achso, nun ist es klar.

Danke!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. 😄



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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