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Analysis » Funktionalanalysis » Schwache Ableitung von ln|ln|x|| hat keinen stetigen Repräsentanten
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Universität/Hochschule Schwache Ableitung von ln|ln|x|| hat keinen stetigen Repräsentanten
Piistgenau3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-30


Hallo Matheplanetarier,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht mehr weiter komme:

Sei \(\Omega=B_{\frac{1}{2}}(0)\in\mathbb{R}^{d}\) für \(d\ge 2\).

Zu zeigen ist, dass
\[u(x):=\ln\left|\ln\left| x\right|\right|\] in \(H^{1,d}(\Omega)\) ist, aber keinen stetigen Repräsentanten hat.

Zunächst ist ja zu zeigen, dass 1.
\[u\in L_{loc}^{1}(\Omega)\] weil das eine Voraussetzung für die Existenz einer schwachen Ableitung ist, was wiederum Voraussetzung dafür, das \(u\) im entsprechenden Sobolew-Raum ist. Um 1. zu zeigen, zeige ich nach Definition dass folgendes gilt
\[u\in L_1(K) \forall K \subset \Omega, K \text{ ist kompakt.}\] Nun ist die einzige Stelle, an der die integrierbarkeit fraglich ist natürlich die 0. Darum dachte ich, ich lege einen offenen Ball \(B_{\epsilon}(0)\) um die Null mit Radius \(\epsilon>0\) beliebig, den ich dann kleiner werden lasssen kann. Da \(B_{\epsilon}(0)\) offen ist, ist \(B_{\epsilon}(0)^{c}=\Omega\setminus B_{\epsilon}(0)=:E\) abgeschlossen (und beschränkt sowieso), also kompakt. Außerdem ist jede andere kompakte Teilmenge von \(\Omega\) auch schon Teilmenge von \(E\), somit müsste ja gezeigt sein, dass \(u\) lokal integrierbar ist, wenn \(\int_{\Omega\setminus B_{\epsilon}(0)}u(x)dx<\infty\) gilt, was ich jetzt nicht aus dem Stehgreif beweisen könnte, aber glaube ich auch nicht muss (bzw ich kann aufgrund vorheriger Erkenntnisse annehmen, dass das gilt).

Und nun kommt mein eigentliches Problem (wobei ich nicht ausschließe, dass sich oben auch schon eines verbirgt ;-)):

Wenn ich jetzt die Definition der schwachen ableitung nachprüfen will, komme ich nicht über integrale hinaus, die ich mit Gauss oder Green nicht in die gewünschte Form bekomme. Ich habe darüber nachgedacht, von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten überzugehen, allerdings tue ich mich damit schon immer sehr schwer und hoffe, dass es noch einen anderen Weg gibt.

Ferner habe ich auch noch keine Ahnung, wie ich zeige, dass es keinen stetigen Repräsentanten gibt (außer halt das Übliche, also versuchen einen Widerspruchsbeweis zu führen), wobei ich mich mit dieser Teilaufgabe noch nicht so sehr beschäftigt habe.

Ich bin über Denkanstöße und Erklärungen sehr dankbar.

Grüße
Lucas



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Piistgenau3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-30


Ich denke mal weiter:

Nun besitzt $u$ die Schwache Ableitung \(u_{a}\in L_{loc}^{1}(\Omega)\), wenn für alle \(v\in C_{0}^{\infty}(\Omega)\) gilt
\[\int_{\Omega}uD^{a}v=(-1)^{|a|}\int_{\Omega}u_{a}v.\]
Jetzt hab ich dann hier mit einsetzen:

\[\int_{\Omega}\ln\left|\ln\left| x\right|\right|D^{a}v=...\] Da sollte ich wahrscheinlich das Gebiet unterteilen, also wie schon zuvor. Außerhalb der Epsilonkugel liegt ja klassische Differenzierbarkeit vor, dort stimmt die schwache Ableitung mit der klassischen Ableitung überein.

ach ja, die habe ich oben gar nicht erwähnt. mein Kanidat für die partiellen Ableitungen ist \(\frac{1}{x\ln |x|}\). Wenn ich nun partiell integriere oder den Integralsatz von Gauss anwende, weiß ich nicht so genau, wie ich mit der mehrdimensionalität des Problems umgehen soll...

EDIT:
Habe gerade eingesehen, dass mein \(x\) natürlich Vektorwertig ist und daher \(|x|=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_d^2}\). Das ändert natürlich einiges...



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-31


Hallo,

dein Kandidat für die schwache Ableitung könnte
\[ u_a(x) = \begin{cases}
\frac{x}{\|x\|^2\ln\|x\|}, &x\neq 0\\
a, & x=0
\end{cases}\] und $a$ beliebig sein. Wir überprüfen das komponentenweise. Es möge also $\alpha=e_i:=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ sein. So müssen wir
\[\int_{\Omega}u(x)\frac{\partial v}{\partial x_i}\, dx = -\int_{\Omega}\frac{x_i}{\|x\|^2\ln\|x\|} v(x)\, dx\] überprüfen, wobei $v(x)=0$ für $\|x\|=\frac 12$ gelte.



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