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Analysis » Maßtheorie » Sigma-Algebren zu endlichen Grundmengen
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Universität/Hochschule Sigma-Algebren zu endlichen Grundmengen
Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-02


Hallo zusammen!

Ich sitze gerade an der folgenden Aufgabe und habe leider gar keinen Ansatz, daher bitte ich euch dringend um Unterstützung:




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-02


Hallo,

beginne mit der a). Warum ist
\[\left\{\bigcup_{i\in I}A_i:I\subset\{1,\ldots,m\}\right\}\] eine $\sigma$-Algebra? Du musst im wesentlichen nur die Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra nachrechnen.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-02


Hallo,

eine σ -Algebra enthält immer fed-Code einblenden fed-Code einblenden



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-02


was passiert für $I=\emptyset$ und was passiert für $I=\{1,\ldots,m\}$?

Du musst auf jeden Fall nutzen, dass die $A_i$ eine Partition bilden. Das bedeutet, dass die Vereinigung aller dieser Mengen gerade ... bildet.

Für Schnitte brauchst du nichts zu zeigen. Zeige lieber, dass etwas stabil gegenüber Komplementbildung ist.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-02


Für I=∅ enthält die Sigma-Algebra die leere Menge und Omega?
Für I={1,…,m} entsteht eine endlich abzählbare Sigma-Algebra?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-02


Nein :/

Was ist
\[\bigcup_{i\in \emptyset}A_i?\]
Weiter gilt
\[\bigcup_{i\in \{1,\ldots,m\}}A_i=\Omega.\]




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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-02


Ist das die leere Menge?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-02


Ja. Ich mache mal ein Beispiel.

Sei $\Omega=\{1,2,3,4\}$. Dann könnte $\Pi=\{A_1,A_2\}$ mit $A_1=\{1,4\}$ und $A_2=\{2,3\}$ sein. So behaupten wir, dass \[\sigma(\Pi)=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1\cup A_2\}\] ist. Warum?



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-02


Weil die beiden Partitionen, deren Vereinigung, die leere Menge und Omega (bzw. Komplement der leeren Menge) enthalten sind.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-02


Aufg. a) habe ich jetzt gelöst bekommen, könnt ihr mir bitte bei b) helfen? Es ist relativ dringend.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-02


Was hast du denn bei b) bisher probiert bzw. herausbekommen?



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-02


Leider habe ich bei b) gar keinen Ansatz oder Idee.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-02


Mir sind hier zu viele $A$-ähnliche Symbole. Ich bezeichne die gegebene $\sigma$-Algebra auf $\Omega$ daher mit $\mathcal{S}$.

Überlege dir zuerst: Für $\omega \in \Omega$ ist $A_{\omega}$ die kleinste Menge in $\mathcal{S}$, die $\omega$ enthält.

Zur ersten Behauptung bei b): Angenommen, $A_{\omega}$ und $A_{\omega'}$ sind nicht disjunkt, etwa $p \in A_{\omega} \cap A_{\omega'}$. Ich behaupte $A_p = A_{\omega}$. Analog wird dann $A_p = A_{\omega'}$ und damit die Gleichheit $A_{\omega} = A_{\omega'}$ folgen.

$A_p \subseteq A_{\omega}$ folgt aus der Definition von $A_p$ und $p \in A_{\omega}$.

Für die andere Inklusion müssen wir $\omega \in A_p$ zeigen. Angenommen, es gilt $\omega \notin A_p$.

Betrachte dann $A_{\omega} \setminus A_p$. Diese Menge liegt in $\mathcal{S}$ und enthält $\omega$. Also folgt $A_{\omega} \subseteq A_{\omega} \setminus A_p$ und damit $A_p = \emptyset$, Widerspruch.

Zur zweiten Behauptung bei b): Weil die $A_{\omega}$ in $\mathcal{S}$ liegen, ist $\sigma(\Pi) \subseteq \mathcal{S}$ klar. Es bleibt also nur die umgekehrte Inklusion zu zeigen.

Sei dazu $M \in \mathcal{S}$ beliebig. Wir müssen (das sagt uns ja Teil a)) $M$ als Vereinigung von Mengen der Form $A_{\omega}$ schreiben. Es liegt nun nahe, $M = \bigcup_{\omega \in M} A_{\omega}$ zu beweisen. Den (einfachen) Beweis dafür überlasse ich einmal dir.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-02


Ich stehe leider total auf dem Schlauch. Magst du mir auch den letzten Beweis zeigen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-03


Es wäre besser, wenn du uns auch einmal eigene Gedanken zeigen könntest. Lösungen vorkauen bringt generell wenig. Hast du denn die Beweisschritte davor vollstänig verstanden? Oder hast du Fragen dazu?



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03


Den Beweis zur ersten Behauptung habe ich soweit verstanden, aber bei der zweiten Behauptung fehlt mir noch das Verständnis des letzten Absatzes.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03


@Triceratops: Es wäre in meinem Fall vielleicht hilfreicher, wenn du mir bitte den letzten Beweis zeigst. Evtl. würde ich die Aufgabe im Ganzen so besser verstehen. Ich bitte um deine Unterstützung.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-11-03


Für $M = \bigcup_{\omega \in M} A_{\omega}$ sind zwei Inklusionen zu zeigen.

1) $M \subseteq \bigcup_{\omega \in M} A_{\omega}$.

Nimm dir ein $\omega \in M$. In welche der Mengen in der Vereinigung wird es wohl liegen? Und warum ist das der Fall?

2) $\bigcup_{\omega \in M} A_{\omega} \subseteq M$

Äquivalent dazu ist: Für alle $\omega \in M$ gilt $A_{\omega} \subseteq M$.

Um die Inklusion $A_{\omega} \subseteq M$ zu zeigen, verwende die Definition von $A_{\omega}$ und $\omega \in M$.

Probiere erst einmal, damit den Beweis zu führen, und schreibe gerne, wenn du an einer Stelle nicht weiterkommen solltest.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03


Zu 1):
Wenn ich mir ein fed-Code einblenden fed-Code einblenden
da fed-Code einblenden

Zu 2):
fed-Code einblenden

Irgendwie ergibt das jetzt ein bisschen mehr Sinn, obwohl ich nicht weiß, ob das richtig ist und wie man das als korrekten Beweis aufschreibt, da ich das in der Uni nicht hatte. Kannst du mir da weiterhelfen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-11-03


1) Das ist nicht ganz richtig. Denn du schreibst Aussagen hin, die nicht für den Beweis relevant sind, was auf ein falsches Verständnis der Situation hindeutet. Das eigentliche Argument fehlt.

2) Das geht in die richtige Richtung, ist aber noch nicht überzeugend. Was meinst du mit "über alle A"? Weil hier nicht viel mehr gemacht werden muss, als die Definition von $A_{\omega}$ anzuwenden, muss eigentlich nur gezeigt werden, dass du die Definition verstanden hast und korrekt wiedergeben kannst.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03


Es wäre für mich wirklich hilfreicher, wenn du den Beweis für die beiden Inklusionen aufschreibst, ansonsten sehe ich wenig Chancen das zu verstehen.
Danke im Voraus.



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