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 Konsumfunktion / Sparfunktion |
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dietmar0609
Senior 
Dabei seit: 29.06.2007
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 |  Themenstart: 2019-11-03
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Hallo, Ich arbeite gerade mit Studenten der Wirtschaftsmathematik alte Klausuren durch. Da es nicht meine Kernkompetenz ist, hier eine Aufgabe , mit der ich mich schwer tue:
In einem Haushalt gelte folgende Sparfunktion:
S(x) = x + e^(-0,8x) - 2
Bei welchem Einkommen spart der Haushalt ca. 70% vom nächsten zusätzlich verdienten Euro.
Wie lautet die entsprechende Konsumfunktion zur angegebenen Sparfunktion ?
Zum ersten Teil der Aufgabe habe ich
S(x+1) - S(x) >= 0,7 versucht.
Da kam nichts sinnvolles raus.
Die Konsumfunktion ist m.E. 2 - e^(-0,8x)
Hat da jemand mehr Ahnung als ich ?
Gruss Dietmar
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dietmar0609
Senior 
Dabei seit: 29.06.2007
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-03
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Hallo
Was genau ist x, was ist S?
Gruß Caban
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dietmar0609
Senior
Dabei seit: 29.06.2007
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03
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Danke Caban für die Antwort ...
Die Sparfunktion. Das Sparen der Haushalte bestimmt sich demnach als Differenz von Einkommen und Konsumausgaben: S(x) = x - C.
x sind die Einnahmen.
C der Konsum
S die Ersparnis
Der Konsum hat offensichtlich einen fixen Teil und einen variablen Teil, der von den Einnahmen abhängt.
Gruss Dietmar
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
demnach sollte doch die Konsumfunktion gegeben sein* durch
\[C(x)=2-e^{-0.8x}\]
Das kann man als beschränkte Wachstumsfunktion auffassen und dann läuft es für meine Begriffe auf die Berechnung der (momentanen) Wachstumsrate hinaus, also auf
\[\frac{S'(x)}{S(x)}= 0.7\]
Wobei man das mit irgendwelchen Rechenhilfmsitteln lösen muss. Ist da etwas darüber bekannt?
EDIT: das war ein Denkfehler und ist falsch. Siehe dazu Beitrag #8.
*Sorry, jetzt sehe ich, dass du das ja schon angegeben hattest. Hatte ich überlesen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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| Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-03
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Noch eine nachträgliche Frage (denn ich bekomme auch nichts sinnvolles heraus):
In welcher Einheit geht das Einkommen x in die Funktion ein?
Gruß, Diophant
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dietmar0609
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Dabei seit: 29.06.2007
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03
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Einheit = 1 Euro
Danke für die Info , die Wachstumsrate S'(x)/S(x) kannte ich so noch nicht.
Hilfsmittel sind in der Klausur einfache TRs ohne jegliche Grafik Features etc.
Die Herren kommen morgen, vielleicht haben sie ja ein Musterlösung.
LG Dietmar
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
ich hätte jetzt als Einheit Tsd. € vermutet, denn mein CAS spuckt mir für die Gleichung den Näherungswert \(x\approx 3.272\) aus. Was ja in diesem Fall dann eine sinnvolle Lösung wäre...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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mire2
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Dabei seit: 29.08.2006
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-03
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Öhm, müsste nicht, wenn man fragt, für welches x mehr als 70 % der Einkünfte gespart werden, die Gleichung wie folgt lauten?
S(x) ≥ 0.7*x
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
@mire2:
\quoteon(2019-11-03 17:24 - mire2 in Beitrag No. 8)
Öhm, müsste nicht, wenn man fragt, für welches x mehr als 70 % der Einkünfte gespart werden, die Gleichung wie folgt lauten?
S(x) ≥ 0.7*x
\quoteoff
Doch, da hast du völlig recht, das war ein Denkfehler meinerseits.
Was jedoch an den Fragen der Einheiten als auch der Rechenhilfmsittel nichts ändert.
Für diesen Fall bekomme ich die Näherungslösung \(x\approx 6.650\).
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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dietmar0609
Senior
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03
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Der Aufgabentext im Themenstart ist Original Klausurtext.
x ist das Gesamteinkommen, deswegen bin ich skeptisch mit den Ansatz von Mire.
Es heißt: von jedem zusätzlich verdienten Euro spart man mehr als 70%. Deswegen kam ich auf
S(x+1) - S(x) >= 0,7
was offensichtlich ein unsinniges Ergebnis ergibt.
Gruss Dietmar
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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Caban
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| Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-03
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Hallo
Dietmar, ich komme mit deinem Ansatz auf x=0.759.
Gruß Caban
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dietmar0609
Senior
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03
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Hallo Caban,
Das hatte ich auch. Das heisst doch: Bereits ab einem Gesamteinkommen von 76 Cent liegt die Ersparnis über 70%. Oder irre ich mich da ?
Gruss Dietmar
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Caban
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| Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-03
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Hallo
Bist du dir sicher, dass eine Einheit 1 Euro ist und nicht 1000. So macht das keinen Sinn.
Gruß Caban
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dietmar0609
Senior
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03
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Habe nochmal im Original Aufgabentext nachgeschaut:
"Bei welchem Einkommen spart der Haushalt ca. 70% vom nächsten zusätzlich verdienten Euro."
LG Dietmar
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Caban
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| Beitrag No.15, eingetragen 2019-11-03
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Hallo
Und über die Einheit von x steht da was drin? Ich schätze die Einheit von x sind 1000 Euro
Gruß Caban
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dietmar0609
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03
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\quoteon(2019-11-03 18:32 - Caban in Beitrag No. 15)
Hallo
Und über die Einheit von x steht da was drin? Ich schätze die Einheit von x sind 1000 Euro
Gruß Caban
\quoteoff
Der Originaltext steht im TS, die Schüler kommen morgen, ich frage sie mal nach einer Musterlösung.
Gruss Dietmar
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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
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| Beitrag No.17, eingetragen 2019-11-03
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Die Einheit von x ist mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit 1000€ oder etwas ähnliches.
Gefragt ist, wann S(x) mit der Geschwindigkeit 0,7 wächst, falls x mit der Geschwindigkeit 1 wächst.
Die Frage lässt sich mit der Ableitung beantworten. Es muss S'(x) = 0,7 sein. Das Ergebnis lässt sich dann mit dem TR auch ohne CAS berechnen.
Theoretisch könnte man auch nach der Lösung der Gleichung
S(x+1/1000) - S(x) = 0,7/1000 suchen (falls die Einheit tatsächlich 1000€ ist), aber das ist rechnerisch schwierig. Der Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten erleichtert die Sache.
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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| Beitrag No.18, eingetragen 2019-11-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Kitaktus,
vielen Dank für die 'Aufklärung'. Da haben wir wohl (fast) alle zu kompliziert gedacht...
Aber das ist des Rätsels Lösung und die Größen werden die Einheit 1000 Euro haben.
Das Resultat wäre dann mit \(x\approx 1.226\) ebenfalls wieder (einigermaßen) plausibel.
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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dietmar0609
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-03
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Hallo Kitaktus, Klingt plausibel ... vielen Dank
Dann bin ich für morgen toll vorbereitet ....
Gruss Dietmar
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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| Beitrag No.20, eingetragen 2019-11-04
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Ich habe mir das noch mal angeschaut. So richtig überzeugt bin ich von der Richtigkeit nicht. Für x<1.7542 ist die Sparfunktion negativ.
Das heißt bei x=1.226 bedeutet der Ansatz "von jedem zusätzlichen Euro werden 70 Cent gespart", dass der Haushalt seine Schuldenaufnahme um 70 Cent reduziert. Formal ist das natürlich auch "Sparen", wirkt aber schon etwas suspekt.
Ich denke, Du musst die Aufgabe nochmal hinterfragen.
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dietmar0609
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
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hallo Kitaktus, danke für die Antwort
die Nullstelle bei 1.7542 ist mir auch aufgefallen als ich die Funktion geplottet habe. Dass x=1.226 in diesen Bereich fällt, ist mir nicht aufgefallen.
Ich werde nochmal nachhaken und Euch auf dem Laufenden halten.
LG Dietmar
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2023-03-24 11:03 U ?
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