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Mathematik » Stochastik und Statistik » Differenz zwischen Wahrscheinlichkeiten abschätzen
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Universität/Hochschule Differenz zwischen Wahrscheinlichkeiten abschätzen
mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-04


Es sind ein Wahrscheinlichkeitsraum und zwei \(\mathbb{R}\) - wertige stochastische Prozesse \(X:=(X_t)_t\), \(Y:=(Y_t)_t\) , \(t \geq 0\) , gegeben. Weiters ist \(P(X_t=Y_t) =1 \forall t \geq 0\).
Es ist zu zeigen, dass \(X\) und \(Y\) dieselben endlichdimensionalen Verteilungen haben.

Ich habe dafür online eine Lösung gefunden, die ich nicht verstehe, und bitte um eine kurze Erläuterung.

Sei \(t_1 < t_2 < ... < t_n\), und \(A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\).
Dann sagt die Lösung, dass \( \vert P((X_{t_1} , ... , X_{t_n}) \in A) - P((Y_{t_1} ,..., Y_{t_n}) \in A) \vert \leq P((X_{t_1} , ... , X_{t_n}) \neq (Y_{t_1} ,..., Y_{t_n})) \). Warum diese Ungleichung gilt weiss ich nicht. Ich habe z.b. versucht, den Ereignisraum geeignet disjunkt zu zerlegen, aber es ergibt sich nie diese Ungleichung.

mfg



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-04


Hallo mpc,

Zerlege die Mengen in Teilmengen von \( \{(X_{t_1}, ..., X_{t_n}) = (Y_{t_1}, ..., Y_{t_n}) \} \) und \( \{(X_{t_1}, ..., X_{t_n}) \neq (Y_{t_1}, ..., Y_{t_n}) \} \). Verwende dann, dass für \( a, b \geq 0\) gilt \(|a-b| \leq \max\{a, b\} \).



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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10


Ah, das ist also die zugrundeliegende Ungleichung, danke! Und mit der Zerlegung muss ich halt noch ein bisschen herumprobieren, es wird sich eine passende ergeben.
LG



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-11


Ich hab oben schon beschrieben, wie du die Mengen zerlegen kannst:

\(\{(X_{t_1}, ..., X_{t_n}) \in A\} =  \Big(\big\{(X_{t_1}, ..., X_{t_n}) \in A\big\}\cap \big\{(X_{t_1}, ..., X_{t_n}) = (Y_{t_1}, ..., Y_{t_n}) \big\}\Big)\cup \Big(\big\{(X_{t_1}, ..., X_{t_n}) \in A\big\} \cap\big\{(X_{t_1}, ..., X_{t_n}) \neq (Y_{t_1}, ..., Y_{t_n}) \big\} \Big)  \)

Das Gleiche machst du mit der anderen Menge einfach auch.

Edit: Falls es dir nicht klar sein sollte: Zunächst so zerlegen, dann den resultierenden Ausdruck vereinfachen und dann erst die Ungleichung aus meinem ersten Beitrag anwenden.



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