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Strukturen und Algebra » Gruppen » Untergruppe von GL(2, R)
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Universität/Hochschule Untergruppe von GL(2, R)
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-04


Hallo alle zusammen,

gegeben sei fogende Untergruppe: \[D_n:= \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) & -\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) & \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) \end{pmatrix}\right\rangle.\]
Also anhand von $D_3$ und $D_4$ habe ich mir die Struktur der UG klargemacht. So, hier nun eine Aufgabenstellung dazu:

,,Sei $τ(n)$ die Anzahl von positiven Teilern von $n$ und $\sigma(n)$ die Summe über allepositiven Teiler (z.B. gilt $τ(6) = 4$ und $σ(6) = 12$).  Zeige dass die Gruppe $D_n$ genau $τ(n) +\sigma(n)$ Untergruppen hat und bestimme diese."

$>$ So, ich habe mir mal eine kleine Tabelle mit Excel angelegt:


Es kann sein, dass da ein paar Fehler drin sind, aber die generelle Tendenz ist klar: Es gibt keine Struktur. Die einzige erkennbare Struktur ist für Primzahlen, aber für zwei Primzahlen $p_1$ und $p_2$ gilt natürlich, dass $\sigma(p_2)+\tau(p_2)=\sigma(p_1)+\tau(p_1)+p_2-p_1$, das sind in der Tabelle gerade die fett markierten Zahlen. Ansonsten wüsste ich aber nicht, wie ich weitermachen könnte.

Ich werde es mal am Beispiel von $n=4$ und $n=5$ i. d. Zwischenzeit versuchen, über eine kurze Lösungsskizze wäre ich sehr dankbar!

-- Neymar



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-04


Hallo,

es spiegelt $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ an der $x$-Achse. Weiter dreht $ \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) & -\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) & \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) \end{pmatrix}$ um den Winkel $\frac{2\pi}{n}$. Die von diesen Matrizen erzeugte Gruppe heißt Diedergruppe. Du kannst dir jetzt überlegen, dass eine Untergruppe durch $\begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) & -\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \\ \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) & \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \end{pmatrix}$ erzeugt wird, wenn $k$ ein Teiler von $n$ ist. Welche Untergruppen gibt es noch?



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wladimir_1989
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Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-04


Hallo Neymar,

ich habe noch keine Lösung, eine Vermutung. Man kann sich zuerst die Untergruppen allgemein anschauen. Die Gruppe \(D_n\) enthält die Symmetrieoperationen eines regelmäßigen n-Ecks, also n Drehungen und n Spiegelungen. Zu jedem Teiler von n gibt es genau eine zyklische Untergruppe, die nur aus Drehungen besteht und isomorph zur \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) ist. Das erklärt den ersten Summanden. Jede Spiegelung ist selbstinvers, also haben wir n Untergruppen isomorph zu \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). Außerdem gibt es im Allgemeinen noch gemischte Untergruppen, die aus Spiegelungen und Drehungen bestehen, da das Produkt zweier Drehungen eine Spiegelung ist. Man muss sich wohl überlegen, dass zu jedem nichtrivialen Teiler m von n genau m solcher Untergruppen gibt.

lg Wladmir

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-04


Du hast gesagt, dass Du Dir die Untergruppenstruktur f\"ur kleine <math>n</math> klargemacht hast. Zu welchen Ergebnis bist Du gekommen?

Wenn Du das richtige Ergebnis auf <math>n</math> verallgemeinerst, dann sollte sich die Behauptung recht schnell ergeben.
 



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04


Vielen Dank euch beiden soweit.
Ich habe hier ganz am Anfang der Seite gefunden, dass es wohl nur zwei ,,Sorten" von Untergruppen gibt:

,,1. Subgroups of the form $\langle a^d \rangle$, where $d | n$. There is one such subgroup for each $d$. The total number of such subgroups is $\tau(n)$ or $\sigma_0(n)$, i.e., the number of positive divisors of $n$.

2. Subgroups of the form $\langle a^d, a^r x\rangle$ where $d | n$ and $0 \le r < d$. There are thus d such subgroups for each such divisor $d$. The total number of such subgroups is $\sigma(n)$ or $\sigma_1(n)$, i.e., the sum of positive divisors of $n$."

Man müsste also mal darüber nachdenken, warum es nicht mehr Untergruppen kann.


EDIT: Okay, ich habe mir nur für $D_4$ die UG-Struktur klargemacht. Erst einmal zur Notation: \[A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},
C=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},
D=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix},
E=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},
F=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},   \]
Untergruppenstruktur:
\[\left\{ I_2 \right\},
\left\{ I_2, \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix} \right\},  
\left\{ I_2, D, F, B \right\},D_4,
\left\{I_2, A, B, C\right\},
\left\{I_2, D\right\},
\left\{I_2, E\right\},
\left\{I_2, F\right\},
\left\{I_2, B, E, \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}\right\},
\left\{I_2, B\right\} \]
Es ist aber nur komisch, denn wenn ich dem groupprops Link folge und $r=1=d$ setze, dann erhalte ich: $\left\langle a^d, a^r x\right\rangle=\langle a, ax\rangle = \left\langle A, \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\right\rangle=\{I_2, A, B, C, F\}.$ Vermutlich sind ein paar Fehler in der UG-Struktur drin ...

EDIT EDIT: Was ich im EDIT geschrieben habe, kann nicht sein, denn $5\nmid 8$.




--Neymar

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-05


2019-11-04 22:44 - Neymar in Beitrag No. 4 schreibt:
[...]
Man müsste also mal darüber nachdenken, warum es nicht mehr Untergruppen kann.
[...]
Beweise: <math>D_{n}</math> besitzt einen zyklischen Normalteiler <math>N</math> vom Index <math>2</math>.

Ist dann <math>U\leq D_{n}</math> eine Untergruppe, so gibt es zwei M\"oglichkeiten:
1. <math>U\leq N</math>
2. <math>U\not\leq N</math>.

Z.B. im 2. Fall existiert <math>y\in U\backslash N</math>, sodass <math>D_{n}= \langle y\rangle N</math>. Die Dedekind-Identit\"at liefert also <math>U= \langle y\rangle (U\cap N)</math>.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-05


Hey. Also ich verstehe fast alles, bis auf die letzten zwei Sätze.
Worauf willst du dort hinaus?

Und woher weiß ich bei einer gegebene  Untergruppe, ob diese Index 2 besitzt oder nicht?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-05


Die Untergruppen der Diedergruppe sind entweder zyklisch oder selbst wieder Diedergruppen, und man kann sie explizit hinschreiben.

ysharifi.wordpress.com/2011/02/17/subgroups-of-dihedral-groups-1/
ysharifi.wordpress.com/2011/02/17/subgroups-of-dihedral-groups-2/

Und woher weiß ich bei einer gegebene  Untergruppe, ob diese Index 2 besitzt oder nicht?

Eine Untergruppe $U$ von $G$ hat Index $2$ genau dann, wenn $U \neq G$ und es ein $g \in G$ gibt mit $G = U \cup gU$.

Alternativ: $U$ hat genau dann Index $2$, wenn es einen surjektiven Homomorphismus $G \to C_2$ gibt, der als Kern genau $U$ hat (wobei $C_2$ die zyklische Gruppe der Ordnung $2$ ist).

Bei der Diedergruppe kann man die Untergruppe der Rotationen nehmen, diese hat Index $2$.



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