| |
| Autor |
 Arbitragegrenzen |
|
molo23
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.11.2018
Mitteilungen: 38
 |  Themenstart: 2019-11-06
|
Hallo,
Gegeben ist \Omega = { \omega_1 , \omega_2 , \omega_3 } i =1,2,3 ,
S^0 ist risikofrei, S^0_1 = 90, S^1_1(\omega_1) = 105, S^1_1(\omega_2) = 128, S^1_1(\omega_3) = 140, r=0,2
und eine Call-Option mit Strike 120
In der ersten Aufgabe, soll ich nun zeigen, dass es hier keine Arbitrage-Möglichkeit gibt. Das mache ich mit einem Gleichungssystem - es sollten zwei Gleichungen mit drei Unbekannten sein, daher kriege ich eine Menge an Lösungen raus - ist das richtig?
Bei der zweiten Aufgabe geht es nun darum, die Arbitragegrenzen zu berechnen und zwar so:
\pi_* (C) = max { x \el\ \IR | \exists\ \xi \el\ \IR^d \forall\ \omega\el\ \Omega: x + \xi * \Delta X^1_1 (\omega) <= C(\omega)/(1+r) }
wobei \Delta X^1_1 = S_1/(1+r) - S_0
\xi das Portfolio, C die Wette, \pi die Menge der Preise ist.
Jetzt versuche ich das zu berechnen und weiß nicht, wie es weiter geht.
Ich habe angefangen mit \omega_3:
S^1(\omega_3)= 140
Call-Option : C(\omega_3) = (140-120)^(+) =20
\Delta x_1 = ((1,2)/(1,2); 140/(1,2)) - (1; 90) = (0; 80/3)
C(\omega_3)/(1+r) = 20/1,2= 50/3
Also x + \xi * (0; 80/3) <= 50/3
Zum Einen bin ich mir unsicher, ob es soweit überhaupt stimmt, und jetzt weiß ich auch nicht, wie ich x und \xi berechnen soll. Wenn ich \xi als (0; 5/8) wähle, hätte ich Gleichheit, dann wäre x=0.
Wie muss ich es nun bestimmen?!
Vielen Dank für jeden Hilfe!
|
 Profil
| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7086
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-08
|
Ich glaube, dass einige hier durchaus in der Lage wären, dass dahinter stehende mathematische Problem zu lösen, aber an den verwendeten Fachtermini scheitern.
Kannst Du dein Problem rein mathematisch beschreiben? Oder hast Du einen Link auf eine Seite, wo der mathematische Hintergrund genauer beschrieben ist?
Ansonsten hoffen wir mal, dass jemand mit mehr Ahnung in Finanzmathematik hier vorbeikommt.
|
Profil
|
Creasy
Senior 
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 584
Wohnort: Bonn
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-11
|
Hallo,
ich versuche mal, meinen verblassten Erinnerungen dazu hervorzurufen und es so ausführlich zu machen, dass auch nicht Finanzmathematiker eventuell folgen könne.
Du hast hier also im Prinzip ein Konto, auf dem Geld mit einem Zinssatz $r$ verzinst werden, und du hast soetwas wie eine Aktie (das d in der Menge sollte daher eins sein. Später hat man mehrere Aktien, die man betrachtet) (dieses $S_1$), deren Wertverlauf im weiteren Verlauf von einem Ereignis abhängig ist. Zum Beispiel von einem Münzwurf.
Im ersten Teil geht es darum, herauszufinden, ob man aus "nichts" Gewinn machen kann. Ein eventuell schlechtes Beispiel ist folgendes kostenloses Gewinnspiel: Bei Kopf bekommt man 1 Euro, bei Zahl 2 Euro. Man kann also nur gewinnen (und ohne Geld zu haben, Geld machen).
Um nun aber zwei verschiedene Geldbeträge vergleichen zu können, rechnet man aus, wie viel sie zu einem Zeitpunkt wert gewesen wären (wenn man ab diesem Moment Geld in ein Konto gegeben hätte). Sagen wir also zum Zeitpunkt 2 hab ich 100 Euro. Dann hätte ich zum Zeitpunkt 0 : $100*(1+r)^{-2}$ viel Geld ins Konto anlegen müssen, um zum Zeitpunkt 2 100 Euro zu haben.
Es ergibt also Sinn, die gegebenen Werte zu "diskontieren" (du siehst auch in der Mengenklammer, dass es dort auch gemacht wird). Sprich: $\bar{S}_1(\omega_1) =105/(1+r)= 87,..$ (selber ausrechnen). Dann wirst du feststellen, dass es Werte gibt, die größer als 90 = S_0 sind, und Werte gibt, die kleiner als $S_0$ sind. Daraus folgt aber schon direkt, dass es keinen sicheren Weg gibt, Geld zu machen und das Modell ist arbitragefrei.
Nun zu Teil 2:
Inhaltlich geht es um das Folgenden: Wir schließen einen Handel ab zum Zeitpunkt $0$. Und zwar biete ich an das Recht an, zum Zeitpunkt 1 die Aktie für $120$ zu kaufen, auch wenn man weiß wie viel Wert diese Aktie zu diesem Zeitpunkt ist. (Man muss aber die AKtie dann nicht unbedingt kaufen). Man fragt sich dann, wie teuer soll ich dieses Angebot zum Zeitpunkt 0 verkaufen? Mal ganz dumm gesagt: Angenommen, ich verschenke das, dann kann man kein Geld verlieren, wenn man das Angebot "kauft", ja man bekommt sogar Geld -> Arbitrage.
Wenn ich mich recht erinnere, kann man den Preis nicht genau angeben, sondern nur ein Intervall berechnen, in dem dieser liegt.
Nun aber noch ein Wort zur linken Seite der Ungleichung: Wir haben eine Aktie und ein Konto und sagen wir Geld im Wert von $x$ (Euro). Zum Zeitpunkt Null entscheiden wir uns $\xi$ viele Aktien im Wert von $S^{0_1}$ zu kaufen und den Rest aufs Konto anzulegen. Zum Zeitpunkt $1$ besitzen wir dann $(1+r)(x-\xi S^{0_1})$ viel Geld auf dem Konto und durch den Verkauf der Aktien erhalten wir $\xi S^{1_1}$ viel Geld. Insgesamt also $(1+r)(x-\xi S^{0_1}) + \xi S^{1_1}$. Diskontiert (also zurückgerechnet, welchem Betrag das zum Zeitpunkt 0 entsprochen hätte) wäre das $x + \xi ( \frac{S^{1_1}}{1+r} - S^{0_1})$, was gerade der linken Seite dieser Ungleichung entspricht.
Die Frage ist hier also: Wie viel Geld kann ich maximal besitzen, damit es noch eine Handelsstragie gibt mit der man sicheren Verlust machen kann (Verlust ist eigentlich auch nur negativer Gewinn: wenn es sicheren Verlust gibt, dann gibt es auch sicheren Gewinn, in dem man sich genau gegenteilig verhält: Statt kaufen - Verkaufen) Das ist gerade der untere Preis für die Option $C$.
Die obere Schranke berechnet sich dann genauso (es müsste dann statt max ein min sein und statt kleinergleich ein Größer gleich, wenn ich mich nicht irre..)
Nun zur Berechnung: Man kann die Ungleichung umstellen und die Geradengleichung $ \bar{C} - \xi X$ betrachten, wenn man $\xi$ variabel lässt.
Geradengleichungen, die du für alle drei Omegas kennst. Zeichnet man alle drei Geraden in ein Koordinatensystem, dann entspricht das $\xi$ der Koordinate auf der $x-Achse$ (nicht das $x$ aus der Menge..) und $x$ soll kleiner sein als alle Werte, die durch die Geraden an dieser Stelle angenommen werden.
Gesucht ist also ein Punkt im zweidimensionalen Raum, der unter allen drei Geraden liegt und davon derjenige, mit der größten zweiten Koordinate. Die 1. Koordinate entspricht dann dem $\xi$, die 2. Koordinate entspricht dem gesuchten Wert.
Bestimme also alle paarweisen Schnittpunkte der Geraden.
In der Hoffnung dass es halbwegs verständlich war
Beste Grüße
Creasy
|
Profil
|
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
2023-03-24 11:03 U ?
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
