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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Operationen von G auf X, Fixpunkt finden
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Universität/Hochschule J Operationen von G auf X, Fixpunkt finden
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-06


Hallo alle zusammen,

gegeben sei eine Gruppe $G$ mit $|G|=55$. $G$ operiere nun auf einerenge $X$ mit $|X|=39$. Mehr ist nicht bekannt, wir sollen daraus nun die Existenz eines Fixpunktes beweisen.

Also was erst einmal ins Auge sticht, ist, dass die Summe der Teiler beider Mengen $=17$ ist. $G$ besitzt nur Untergruppen der Ordnung $5$ und $11$. Außerdem ist aus der Vorlesung bekannt, dass die Menge der Operationen von $G$ auf $X$ isomorph zur Menge der Homomorphismen von $G\rightarrow S_X$ ist.

Ein Fixpunkt bedeutet, dass $\forall g\in G: g\cdot x=x$, wobei ich mit $\cdot$ die Operation bezeichnet habe.

Mich würde vor allem interessieren, wie die Teiler von $G$ (und $X$?) mit dem Fixpunkt in Verbindung gebracht werden können. Was meint ihr?
(Zusätzlich würde mich persönlich interessieren, ob dieser Fixpunkt eindeutig ist.)

-- Neymar



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4123
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-06


$X$ ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen der Operationen, und die Kardinalität einer Bahn ist ein Teiler von $|G|$ (wegen der Bahnformel). Ein Fixpunkt ist dasselbe wie eine Bahn der Kardinalität $1$. Probiere einmal, damit weiterzukommen.

Zur Frage, ob der Fixpunkt eindeutig sein wird: Im allgeminen nicht, betrachte etwa die triviale Operation $g \cdot x := x$.



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Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 663
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


Interessant, dann probiere ich es mal damit und melde mich wieder.

Und danke für das Beispiel, der Fixpunkt ist also nicht eindeutig.



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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