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Informatik » Theoretische Informatik » Sinn nichtdeterministischer Algorithmen
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Universität/Hochschule Sinn nichtdeterministischer Algorithmen
carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-06


Hallo allerseits,
ein nichtdeterministischer Algorithmus läuft aktuell auf keinem Rechner.
Deswegen ist mir der Sinn dieser Algorithmen nicht klar.

Sinnvoll dagegen wäre die Frage, ob Algorithmen mit nichtpolynomineller Laufzeit (z.B. exponentielle Laufzeit) durch Algorithmen mit polynomineller Laufzeit simuliert werden können.
Wo wird dies in der Komplexitätstheorie behandelt und welcher Zusammenhang besteht mit nichtdeterministischen Algorithmen?

mfg
cx




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-06


Hallo carlox,

2019-11-06 17:37 - carlox im Themenstart schreibt:
ein nichtdeterministischer Algorithmus läuft aktuell auf keinem Rechner.

Wie kommst du da drauf? Ein probabilistischer Algorithmus ist nicht deterministisch. Und davon wird haufenweise Gebrauch gemacht.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


>
>Wie kommst du da drauf? Ein probabilistischer Algorithmus ist
>nicht deterministisch. Und davon wird haufenweise Gebrauch gemacht.
>

Ich verstehe unter nicht deterministisch das was die Theoretiker in der Komplexitätstheorie darunter meinen, so wie z.B. in den Büchern von Uwe Schöning definiert wird (check and guess).

mfg
cx



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-06


2019-11-06 18:22 - carlox in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich verstehe unter nicht deterministisch das was die Theoretiker in der Komplexitätstheorie darunter meinen, so wie z.B. in den Büchern von Uwe Schöning definiert wird (check and guess).

Da hast du doch die Antwort. Solche Algorithmen gibt es für theoretische Überlegungen.

Übrigens kannst du wohl nahezu jeden P-Algo durch äüßerste Ungeschicklichkeit in einen Exp-Algo verwandeln.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06



Da hast du doch die Antwort. Solche Algorithmen gibt es für theoretische Überlegungen.
Ja, aber er Sin ist mir nicht klar.
Was bringt das ?


Übrigens kannst du wohl nahezu jeden P-Algo durch äüßerste Ungeschicklichkeit in einen Exp-Algo verwandeln.

Umgekehrt war meine Frage:
Wie kann man einen exponentiellen Alg. durch einen polynominellen Alg. darstellen und damit die Laufzeit verbessern?
Das wäre für mich eine sinnvolle Fragestellung.

Der Sinn mit den nichtdetermin. Alg. erschließt sich mir nicht.

mfg
cx










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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-06


2019-11-06 19:05 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:

Übrigens kannst du wohl nahezu jeden P-Algo durch äüßerste Ungeschicklichkeit in einen Exp-Algo verwandeln.

Umgekehrt war meine Frage:
Wie kann man einen exponentiellen Alg. durch einen polynominellen Alg. darstellen und damit die Laufzeit verbessern?
Das wäre für mich eine sinnvolle Fragestellung.

Den ungeschickten exponentiellen Algo kannst du dann umgekehrt wieder in den polynomiellen verwandeln. Beide tun das gleiche.

Der Sinn von theoretischen Überlegungen: Erweitern der Erkenntnis. Das P-vs-NP-Problem sagt dir doch bestimmt etwas.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


>
>Den ungeschickten exponentiellen Algo kannst du dann umgekehrt
>wieder in den polynomiellen verwandeln. Beide tun das gleiche.
>
Das verstehe ich überhaupt nicht.

Beispiel: Ein laufzeitintensiver (exponentielle Laufzeit) Algorithmus für z.B. das Rundereiseproblem.
Zu jedem dieser "exponentiellen" Algorithmen soll es dann einen Algorithmus mit polynomineller Laufzeit geben ?
Dann wären ja die "großen" praktischen Probleme der Komplexitätstheorie gelöst
Kann ich mir nicht vorstellen oder ich habe etwas total falsch verstanden.

mfg
cx






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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-06


2019-11-06 19:33 - carlox in Beitrag No. 6 schreibt:
Zu jedem dieser "exponentiellen" Algorithmen soll es dann einen Algorithmus mit polynomineller Laufzeit geben ?

Das habe ich nicht gesagt. Es gibt nur dann einen effizienten Algorithmus, wenn der exponentielle Algorithmus ungeschickt war.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


2019-11-06 20:36 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7 schreibt:
2019-11-06 19:33 - carlox in Beitrag No. 6 schreibt:
Zu jedem dieser "exponentiellen" Algorithmen soll es dann einen Algorithmus mit polynomineller Laufzeit geben ?

Das habe ich nicht gesagt. Es gibt nur dann einen effizienten Algorithmus, wenn der exponentielle Algorithmus ungeschickt war.

Ok, trotzdem:
Wie kann man einen exponentiellen Alg. durch einen polynominellen Alg. darstellen und damit die Laufzeit verbessern?
Das wäre für mich eine sinnvolle Fragestellung.

Der Sinn mit den nichtdetermin. Alg. erschließt sich mir nicht.

mfg
cx




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-06


2019-11-06 21:02 - carlox in Beitrag No. 8 schreibt:
Ok, trotzdem:
1) Wie kann man einen exponentiellen Alg. durch einen polynominellen Alg. darstellen und damit die Laufzeit verbessern?

2) Der Sinn mit den nichtdetermin. Alg. erschließt sich mir nicht.

1) Im Zweifel gar nicht.

2) Was denn nicht? Weißt du, was ein nichtdeterministischer Algorithmus ist?

2019-11-06 19:17 - StrgAltEntf in Beitrag No. 5 schreibt:
Das P-vs-NP-Problem sagt dir doch bestimmt etwas.



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nullptr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-06


2019-11-06 21:02 - carlox in Beitrag No. 8 schreibt:
Der Sinn mit den nichtdetermin. Alg. erschließt sich mir nicht.

Ein Beispiel, wo das für theoretische Überlegungen nützlich ist: Wenn du zeigen möchtest, dass eine Sprache \( L \subseteq \Sigma^* \) in \( \mathsf{DSpace}(\mathcal{O}(1)) \) bzw. regulär ist, dann kannst du eine nichtdeterministische Turingmaschine angeben, die \( L \) mit konstantem Platzbedarf entscheidet. Oder du gibst einen nichtdeterministischen endlichen Automaten an\(^1\). Das ist manchmal deutlich einfacher als direkt eine deterministische Lösung zu suchen.

\(^1\)Ja, das ist mehr oder weniger das gleiche. Allerdings ist die Äquivalenz nicht trivial, weil eine solche TM einem 2-Wege-Automaten entspricht.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-07


Die Betrachtung nichtdeterministischer polynomieller(!) Algorithmen fällt etwas vom Himmel und wird oft nicht gut motiviert.
Nach meinem Verständnis gingen die Überlegungen etwa so:
Frage: Gibt es Probleme, die sich nicht (deterministisch) in polynomieller Zeit lösen lassen, die also nicht in der Komplexitätsklasse P liegen?
Antwort: Ja, die gibt es.
Man stellt aber fest, dass alle Beispiele, die man so findet schon allein deshalb nicht in P liegen, weil die Überprüfung(!) einer Lösung lange dauert.
Ein Beispiel: Stellen wir uns vor, wir verallgemeinern Schach auf beliebige nxn-Bretter und fragen dann: Gibt es eine Gewinnstrategie für Weiß?
Jetzt sagt ein schlauer Computer: "Ja die gibt es" und spuckt einen vollständigen Variantenbaum aus. Da steht also, was Weiß im ersten Zug macht und was Weiß dann in Abhängigkeit von der schwarzen Antwort im nächsten Zug macht usw. Die Ausgabe ist so groß, dass man sie nicht in polynomieller Zeit verifizieren kann. Damit ist auch klar, dass man sie nicht in polynomieller Zeit berechnen kann.

Es gibt auf der anderen Seite aber Probleme, bei denen man "schnell" (also in Poynomialzeit) überprüfen kann, ob eine angebliche Lösung tatsächlich korrekt ist (z.B. SAT, Hamiltonkreis, Clique, …), für die aber _kein_ schneller Lösungsalgorithmus bekannt ist.
In diese Gruppe gehören sehr viele der Probleme, die uns als "relevant" erscheinen und man hat nach einer gemeinsamen Beschreibung gesucht.
Mir ist nicht bekannt, ob zuerst die Beschreibung über Nichtdeterministische Turingmaschinen da war, oder zuerst die Beschreibung mit Hilfe von Zertifikaten / Zeugen von polynomieller Länge. Letzten Endes waren aber beide Beschreibungen äquivalent.
(Spätestens) Seitdem sind nichtdeterministische Turingmaschinen ein zentraler Untersuchungsgegenstand der Komplexitätstheorie.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10


1)
Vielen Dank für diese anschauliche Darstellung.
Jetzt hoffe ich zu wissen, worum es geht.

2)
Was meinst du mit:
"mit Hilfe von Zertifikaten / Zeugen" ?

3)
U. Schöning (Buch: "Ideen der Informatik") schreibt:
----------------------------
Eine Sprache A (also ein Entscheidungsproblem) liegt in der Klasse NP, falls es einen effizienten Algorithmus gibt, der mit zwei Eingaben arbeitet, so daß folgende zwei Bedingungen gelten:

Wenn x Element A, dann gibt es eine geeignete zweite Eingabe y (ein Wort, dessen Länge polynominell in der Länge von x sein muss), so dass dieser effiziente Algorithmus (bei Eingabe von x und y) 1 ausgibt.

Wenn x nicht Element von A, dann wird bei Eingabe von x und jeder beliebigen zweiten Eingabe y immer 0 ausgegeben.
----------------------------

Zu deinem Beispiel mit dem n x n Schachbrett.
x ist ein n x n Schachbrett (formalisiert durch die Schachregeln), für die es für weiß eine Gewinnstrategie gibt.
A sind die Menge aller quadratischen Schachbretter, für die es für weiß eine Gewinnstrategie gibt.
y ist der Spielbaum für ein n x n Schachbrett.
(Für ein x gibt es also immer genau ein y).
Da der Spielbaum in Abhängigkeit von n exponentiell wächst (ist anschaulich klar, aber wie beweist man das), wächst y nicht polynominell in der Länge von x und verletzt die obige Voraussetzung.

Ist dein Beispiel so korrekt dargestellt ?

mfg
cx




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Kitaktus
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-10


Was bei Dir die "zweite Eingabe y" ist, nennt man auch "Zertifikat" oder "Zeuge". In vielen Fällen ist dieser "Zeuge" einfach eine konkrete Lösung.
Ist die Frage bspw. "Gibt es im Graph G eine Clique mit k oder mehr Knoten?"
Dann muss der Algorithmus ja nur ja oder nein sagen.
Ist die zweite Eingabe eine Menge mit k Knoten, dann kann man sicher in Polynomialzeit prüfen, ob das eine Clique ist. Der Algorithmus sagt dann Ja.
Jede Clique mit k Knoten kann also "bezeugen", dass die Antwort Ja ist.
Ist die Antwort "Nein", dann gibt es auch keinen solchen Zeugen.

Das viele Zweipersonenspiele in ihrer Komplexität oberhalb von NP liegen, ist nur ein Beispiel, ohne den Anspruch hier in drei Zeilen darstellen zu können, warum das der Fall ist(*).
Für die Frage "Ist Stellung X für Weiß gewonnen?" gibt es auch Zeugen, nämlich die Angabe einer kompletten Gewinnstrategie. Diese Zeugen sind aber nicht polynomiell beschränkt und man kann daher nicht davon ausgehen, dass man sie in Polynomialzeit prüfen kann.
Dass es für diese Probleme auch keine anderen polynomiell beschränkten Zeugen gibt, ist freilich etwas schwieriger nachzuweisen. Das wollte ich hier explizit nicht machen.

(*) Im Moment könnte ich nicht mal mit Sicherheit sagen, dass diese Probleme _bewiesenermaßen_ oberhalb von NP liegen. Da müsste ich erst mal mein Gedächtnis wieder auffrischen. Ist alles schon lange her ;-)



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Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-11


Für einige Zweipersonenspiele (u.a. Go, Hex) kann man zeigen, dass sie PSPACE-hart sind, da man QSAT auf diese reduzieren kann.
Das basiert wohl darauf, die abwechselnden Züge der Spieler als geschachtelte quantifizierte Formel von Ɐ- und ⱻ-Ausdrücken zu kodieren (wobei die Zahl der Züge polynomiell in der Brettgröße wächst). Eine Gewinnstrategie existiert dann, wenn der Ausdruck erfüllbar ist.
Und PSPACE-harte Probleme liegen vermutlich außerhalb NP.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11


Hallo Kitaktus,
nochmals besten Dank für deine verständliche, ausführliche Darstellung.
Ich beschreibe im Folgenden alles nochmals in meinen Worten:

1)
Eine Sprache A (also ein Entscheidungsproblem) liegt in der Klasse NP, falls es einen effizienten Algorithmus gibt, der mit zwei Eingaben arbeitet, so daß folgende zwei Bedingungen gelten:

Wenn x Element A, dann gibt es eine geeignete zweite Eingabe y (ein Wort, dessen Länge polynominell in der Länge von x sein muss), so dass dieser effiziente Algorithmus (bei Eingabe von x und y) 1 ausgibt.
Wenn x nicht Element von A, dann wird bei Eingabe von x und jeder beliebigen zweiten Eingabe y immer 0 ausgegeben.


Wie stellt man nun fest, ob x in A oder nicht in A liegt?
Zu einem beliebigen x testet man alle möglichen y, die es gibt.
Jedes y ist ein Wort aus einem Alphabet S. Da für die Länge |y| von y gilt:
|y| = O(p(|x|)), wobei p ein Polynom ist.
Damit gibt es maximal |S| hoch p(|x|) viele y, also exponentiell viele y
Mit diesem brute-force-Algorithmus gehört man also nicht zur Klasse P.
Vielleicht gibt es aber einen effizienten Algorithmus (d.h. der zur Klasse P gehört), der nicht den ganzen Suchraum in brute-force-Manier durchsuchen muss. Dann wäre NP = P.

Ist das korrekt?

2)
Warum gilt P Teilmenge NP?
Sei x Element A. Dann gibt es einen effizienten Algorithmus (d.h. zur Klasse P gehörend), der 1 ausgibt, ohne einen Zeugen y angeben zu müssen.
Da die Definition von NP aber einen Zeugen y benötigt, kann man z.B. zu jedem x immer y = 'a' wählen (mit Alphabet S = {a})

Ist das korrekt?


mfg
cx




[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-11-11


Ja, das ist richtig so.

Bei 1) fehlt m.E. noch die Bedingung, dass die Laufzeit des Algorithmus ebenfalls polynomiell beschränkt ist. Vielleicht meinst Du das aber auch, wenn Du von einem "effizienten" Algorithmus sprichst.
Dass y polynomiell beschränkt ist, braucht man nicht unbedingt. Wenn man nur polynomiell lange rechnen darf, kann man auch nur polynomiell große Eingaben lesen. Aber es macht es an ein paar Stellen einfacher, die Beschränkung der Länge von y explizit zu fordern.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14


2019-11-11 18:49 - Kitaktus in Beitrag No. 16 schreibt:
Ja, das ist richtig so.

Bei 1) fehlt m.E. noch die Bedingung, dass die Laufzeit des Algorithmus ebenfalls polynomiell beschränkt ist. Vielleicht meinst Du das aber auch, wenn Du von einem "effizienten" Algorithmus sprichst.
Dass y polynomiell beschränkt ist, braucht man nicht unbedingt. Wenn man nur polynomiell lange rechnen darf, kann man auch nur polynomiell große Eingaben lesen. Aber es macht es an ein paar Stellen einfacher, die Beschränkung der Länge von y explizit zu fordern.

Nochmals vielen Dank für deine wertvollen Beiträge.

Hier die Definition von Schöning aus "Ideen der Informatik":
Ein Algorithmuws ist effizient, wenn seine Laufzeitfunktion in Abhängigkeit von der Eingabegröße durch ein Polynom nach ober beschränkt ist.


mfg
cx



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-11-14


"Effizient" ist halt ein Wort der Alltagssprache, dass in vielen Zusammenhängen genutzt wird. Ich weiß, dass viele Autoren Polynomialzeit-Algorithmen als "effizient" bezeichnen. Aber das ist vielleicht nicht jedem klar.



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