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Strukturen und Algebra » Gruppen » Semidirektes Produkt, kurze exakte Sequenz
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Universität/Hochschule J Semidirektes Produkt, kurze exakte Sequenz
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-10


Guten Abend alle zusammen,

erst einmal die Aufgabe:

Ich vermute mal sehr stark, dass die spaltende kurze exakte Sequenz explizit konstruiert bzw. angegeben werden muss. Wie das hier aber konkret gehen kann, weiß ich noch nicht so ganz?

($N\rtimes H$ beschreibt das semidirekte Produkt.)

Vielen Dank im Voraus.

--Neymar



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-11


Ist dir die Definition des semidirekten Produktes bekannt?

Wenn ja, dann gibt es nur eine sinnvolle Wahl für $i$ und $p$. Schreibe sie hin und beweise die Exaktheit. (Und wenn nicht: wiederhole bitte die Definition.) Der Beweis der Exaktheit erfordert nichts weiter als das Arbeiten mit den Definitionen.
 
Falls du auf $i$ und $p$ nicht kommst, betrachte bitte einmal den Spezialfall, dass die Wirkung trivial ist, also einfach das direkte Produkt vorliegt.




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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11


From the lecture:

"Eine Gruppe $H$ operiere auf einer Gruppe $N$ via Homomorphismen, i.e., $\forall h\in H$ is \[\lambda_h: N\rightarrow N, x\mapsto hx\] ein Gruppenhomomorphismus.

Wir definieren die eine Komposition auf der \(\underline{Menge}\) $N\times H$ \[\left(N\times H\right)\times \left(N\times H\right)\rightarrow \left( N\times H\right), \] \[\left(\left(x, h\right), \left(x', h'\right)\right)\mapsto\left( x\left( h.x'\right), hh'\right).\]
Dies definiert (!) eine Gruppenstruktur auf der Menge $N\times H$, genannt semidirektes Produkt von $N$ und $H$ bezüglich $H \circlearrowleft N$ [Gruppenoperation von $H$ auf $N$], bezeichnet durch $N\overset{\lambda}{\rtimes} H$."

$>$ Acutally, I am not quite sure whether I hadn't copied down the following line wrongly: \[\lambda_h: N\rightarrow N, x\mapsto hx\] To me, it would make more sense to have $h.x$, since this is the notation we used when defining group operations.

Anyway, I am not really sure whether I really understand the definition. To me, it just seems as if we took the cartesian product $N\times H$ and provided it with a group structure ... When looking up the definition online, it seemed as if there were other definitions used, but maybe they are all equivalent?

This was my first idea that I had in the morning:

$i: N\rightarrow N\rtimes H, n\mapsto \left(n, h\right)$,
$p: N\rtimes H\rightarrow H, \left( n,h\right)\mapsto h$

But then the map $i$ does not make quite sense yet because $h$ is not defined ...


-- Neymar



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-11


Welche konkreten Fragen hast du zur Definition? Sie ist richtig. Du kannst sie verwenden, so wie sie dort steht. Ob man $hx$ oder $h.x$ oder $h \cdot x$ oder ${}^h x$ schreibt, ist unwichtig.

2019-11-11 10:46 - Neymar in Beitrag No. 2 schreibt:

This was my first idea that I had in the morning:

$i: N\rightarrow N\rtimes H, n\mapsto \left(n, h\right)$,
$p: N\rtimes H\rightarrow H, \left( n,h\right)\mapsto h$

But then the map $i$ does not make quite sense yet because $h$ is not defined ...

Ja, $p$ ist richtig. Und bei $i$ musst du halt ein spezielles Element $h$ nehmen. Es gibt ja nur ein Element von $H$, von dem du ganz sicher weißt, dass es existiert.

Wie gesagt, schau dir bei Unsicherheiten erst einmal direkte Produkte an.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11


(i) My question is: What is the difference between $N\rtimes H$ and $N\times H$? Is it what I wrote in my last answer:
To me, it just seems as if we took the cartesian product $N\times H$ and provided it with a group structure ...

(ii) If I define a map, e.g. $i: N\rightarrow N\rtimes H$, does it have to satisfy any special properties, like where does it make a difference whether I look at $N\rtimes H$ or $N\times H$?

EDIT: Ah, now I understood! I could make use of the fact that we deal with the semidirect produkt when proving that my new $i$ is a HM., :-)

(ii) Okay, then for $i$, I suppose I would take:

\[i: N\rightarrow N\rtimes H, n\mapsto (n, 1_H),\] where $1_H$ denotes the identity element of the group $H$. I need to check that $i$ is a HM (homomorph.) and injective.

- ad HM: $i(n_1n_2)=\left(n_1n_2, 1_H\right)$
By making use of the semidirect product, I showed that $(n_1n_2,1_H)=\left(n_1, 1_H\right)\left(n_2, 1_H\right)$.

There is still one problem I see though: $\text{ker}(i)=\text{im}(p)$ is not satisfied, as far as I can judge right now.

- ad injectivity: $\text{ker}\left(i\right)=\{1_N\}$, because I guess that the neutral element of $N\rtimes H$ is $(1_N, 1_H)$.


-- Neymar



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-11


Ist das OK, wenn ich weiter auf Deutsch schreibe?

(1) Der Unterschied zwischen $N \rtimes H$ und $N \times H$ ist, dass auf dem direkten Produkt $N \times H$ eine andere Verknüpfung genommen wird. Wiederhole einfach die Definitionen, dann siehst du es.

Genauer gesagt: das direkte Produkt ist ein Spezialfall des semidirekten Produktes, nämlich wenn man die triviale Operation $h.x := x$ nimmt.

(2) Ja, $i(n) = (n,1)$ ist richtig.

Zeige einmal deinen Nachweis dafür, dass $i$ ein Homomorphismus ist.

(3) $\ker(i)=\mathrm{im}(p)$ gilt nicht, aber es gilt $\ker(p)=\mathrm{im}(i)$, und das steht auch in der Definition von Exaktheit.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11


Of course it's okay if you reply back in German.

(i) Thanks for the explanation. This is what I strongly suspected as well.

EDIT: However, there is another thing I would like to ask. In my first post (at "Themenstart"), I wrote down a bit of what we had done in the lecture. There, we had def. 1.6 which defined the action of a group on another group via homomorphisms. But where do we need this concept in the semidirect product? And was it maybe really a mistake, I mean should it be $\lambda_h: N\rightarrow N, x\mapsto h.x$ instead of $\lambda_h: N\rightarrow N, x\mapsto hx$ or is it just a matter of notation (though we usually do write $h.x$ in the lecture when we mean group operation on a set)?

(ii) $i(n_1)i(n_2) = (n_1, 1_H)(n_2, 1_H) = (n_1\left( 1_H.n_2\right), 1_H1_H) = (n_1n_2, 1_H)=i(n_1n_2)$.

(iii) Oh yes, you are right. I will think of it and get back to you.

EDIT: Actually, it is quite trivial that $ker(p)=im(i)$.


-- Neymar



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-11


2019-11-11 17:25 - Neymar in Beitrag No. 6 schreibt:
EDIT: Actually, it is quite trivial that $ker(p)=im(i)$.

Das sehe ich auch so.

Du musst jetzt noch zeigen, dass die Sequenz spaltet. Aber für $s : H \to N \rtimes H$ gibt es eigentlich auch nur eine sinnvolle Definition.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11


Two minutes ago, I have edited my last edit because I had another question, I hadn't seen your answer.

Okay, I actually realized that I am not quite finished yet and here is my guess for $s$: \[s: H\rightarrow N\rtimes H, h\mapsto\left(1_N, H\right).\] I then showed that $p\circ s = id_H$, but have problems showing that $s$ is a HM: $s\left(h_1h_2\right)=\left(1, h_1h_2\right)\overset{!}{=}s(h_1)s(h_2)=\left(1, h_1\right)\left(1, h_2\right)=(1(h_1.1_H), h_1h_2)$. And I cannot see any reason why $h_1.1_H=1_H.h_1$ in general.


--Neymar



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-11


$\lambda_{h_1} : N \to N$ ist ein Homomorphismus. Es gilt also $\lambda_{h_1}(1_N) = 1_N$.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11


$\lambda_{h_1}\in Aut(N)$; therefore, as you wrote, $\lambda_{h_1}\left(1_N\right)=1_N$. Nice. Okay, I have decided to continue this thread.



(i) I think that there is a lemma in Jantzen's and Schwermer's book that is quite similar to the one we are supposed to prove and I went through the proof of the lemma. As far as I remember, they explicitly write down a map $j: N\rtimes H\rightarrow G$. The only thing that still confuses me: How can I (mathematically) translate "Dann definiert Konjugation mit $s(H)$ eine Operation von $H$ auf $N$ via Homomorphismen, [...]." ? Does it mean that $\lambda_h: N\rightarrow N, x\mapsto s(h)xs(h)^{-1}$?

(ii) Furthermore, I take that $s(H)=im(s)$.


-- Neymar



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-12


Der Ausdruck $s(h) x s(h)^{-1}$ ergibt keinen Sinn, denn es ist $x \in N$ und $s(h) \in G$.

Du musst $s(h) i(x) s(h)^{-1} \in G$ betrachten und dir überlegen, dass es im Kern von $p$ liegt und daher $h.x := i^{-1}((h) i(x) s(h)^{-1}) \in N$ existiert.

Für den Isomorphismus $ N \rtimes H \to G$ gibt es wieder nur eine sinnvolle Wahl (ebenfalls für den inversen Homomorphismus).



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12


2019-11-12 07:34 - Triceratops in Beitrag No. 11 schreibt:
Der Ausdruck $s(h) x s(h)^{-1}$ ergibt keinen Sinn, denn es ist $x \in N$ und $s(h) \in G$.

$>$ Oh yes, you are quite right of course. But where do you know from that we have to consider $s(h)i(x)s(h)^{-1}$? Couldn't it equally have been $s(h)p(h)^{-1}s(h)^{-1}$?

Did you mistype the equation $h.x := i^{-1}((h) i(x) s(h)^{-1}) \in N$?


--Neymar



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-12


1) $p(h)$ ergibt keinen Sinn, weil $p$ ein Homomorphismus $G \to H$ ist.
2) Ja, ich meinte $i^{-1}(s(h) i(x) s(h)^{-1})$.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12


(1) Actually, in this case I had considered well-definedness but still made a mistake ... :-) I wrote $p(h)^{-1}$, but it is not a priori clear that $p$ is a (bijective) HM, i.e., the expression is indeed not well-defined.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12


But then I ask myself why we can write $i^{-1}\left( \dots\right)$, if it not a priori clear why $i$ is bijective.

Actually, I first tried to construct an IM (isomorphism) $j: G\rightarrow N\rtimes H$ but did not succeed in doing so. Then I looked up how Jantzen did the proof and the IM he uses is $j': N\rtimes H\rightarrow G, j'\left(´\left(x, h\right)\right)=i(x)s(h)$. Proving injectivity is easy, but I didn't know how to prove surjectivity and looked this up as well: Let $g\in G$ be arbitray and consider $d:= gs\left( p\left(g\right)\right)^{-1}\in ker(p) = im (i)$. Therefore, $\exists !x\in N: i(n)=d$ (the uniqueness follows from injectivity). And now we're done by considering $j'\left(x, p(g)\right)$.

Okay, the next task would be:


I will think of it a bit and get back to you when having problems. I will first need to consider in (3) whether $S_n\cong A_n\rtimes C_2$ or $S_n\cong C_2\rtimes A_n$ is menat.



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Triceratops
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2019-11-12 14:41 - Neymar in Beitrag No. 15 schreibt:
But then I ask myself why we can write $i^{-1}\left( \dots\right)$, if it not a priori clear why $i$ is bijective.

Ich habe ja davor noch etwas geschrieben, was auch zu berücksichtigen ist. Wenn du ein Element im Bild von $i$ (also im Kern von $p$) gegeben hast, hat es genau ein Urbild unter $i$.

Es ist schade, dass du den Beweis für $G \cong N \rtimes H$ nachgeschaut hast, weil hier jeder Beweisschritt erzwungen ist. Man muss es sich nur genau anschauen, um das zu erkennen. (Wenn du möchtest, kann ich das noch genauer erklären. Oder du setzt dich selbst noch einmal hin.) Die allgemeine Methode habe ich hier beschrieben: article.php?sid=1805

Zur symmetrischen Gruppe: Es gibt eine spaltende exakte Sequenz $1 \to A_n \hookrightarrow S_n \xrightarrow{\mathrm{sgn}} C_2 \to 1$. Der Schnitt $C_2 = \langle t \rangle \to S_n$ ist (zum Beispiel) durch $t \mapsto (1 ~ 2)$ gegeben.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14


Many thanks for your reply. I was too tired to reply back yesterday.

Actually, I find the proof of the surjectivitiy quite nice, though I was sure that I wouldn't have had the idea to define the $d$ and do it as in the textbook. This is a nice proof that uses some properties of short exact sequences and I really was too limited when thinking of surjectivity. I just thought find a preimage, without consdering what we already know. This is nicely described in your article you referenced to me where I in particular looked at the first Problem there.

Many thanks for your patience.


--Neymar



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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