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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Disjunktive Normalform
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Autor
Universität/Hochschule J Disjunktive Normalform
Physiker123
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-11 13:22


Guten Tag,
ich möchte die XOR Funktion (exklusives Oder-Gatter) in der disjunkten Normalform schreiben. Aus der Vorlesung weiß ich, dass für jede Boolesche Funktion \(f\) die Darstellung:

\[f=\bigvee_i\bigwedge_j (\neg)x_{ij}\]
existiert. Wie kommt man hier schnell auf die richtige Form ohne zu raten und die Richtigkeit der aufgestellten Formel über eine Wahrheitstabelle zu überprüfen?



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4123
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-11 22:24


Es gilt $a \mathrm{~XOR~} b = (a \vee b) \wedge \neg (a \wedge b)$. Nun wendet man die üblichen Rechenregeln aus der Booleschen Algebra an:

$(a \vee b) \wedge \neg (a \wedge b)$

$=(a \vee b) \wedge (\neg a \vee \neg b)$

$=(a \wedge (\neg a \vee \neg b)) \vee (b \wedge (\neg a \vee \neg b))$

$=\dotsc$ (bitte mache nun weiter)

Das Endergebnis ist:


$(a \wedge \neg b) \vee (b \wedge \neg a)$.



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Physiker123
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2016
Mitteilungen: 483
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 10:12


Vielen Dank für deine Nachricht. Ich habe die richtige Lösung gefunden. Allerdings gehst du hier ja von der konjunktiven Normalform aus und überführst sie in die disjunktive.

Mit Hilfe einer Wahrheitstabelle und dem in dem Artikel

de.wikipedia.org/wiki/Disjunktive_Normalform#Bildung

beschriebenen Verfahren kommt man auch schnell auf das richtige Ergebnis. Deinen Weg finde ich aber trotzdem gut, da die konjunktive Normalform mir etwas zugänglicher bzw. einsichtiger war. Außerdem ist es eine schöne Übung. Vielen Dank




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