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Strukturen und Algebra » Gruppen » Normalteiler mit Index 2 enthält alle Elemente ungerader Ordnung
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Universität/Hochschule Normalteiler mit Index 2 enthält alle Elemente ungerader Ordnung
Kiwi98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-12 21:43


Hallo an alle Leser,

Ich habe soeben eine Aufgabe aus der Algebra entdeckt und tue mir schwer diese zu lösen bzw. fehlt mir die Übersicht um sie sinnvoll anzugehen.
Die Aufgabe Lautet:
"Sei G eine Gruppe mit einem Normalteiler N, sodass [G : N] = 2. Zeigen Sie, dass für jedes g ∈ G mit ungerader Ordnung g ∈ N gilt."

Dazu Vorab:
1.) kann ich immer von Ordnung von Elementen sprechen oder ist das nur für endliche Gruppen vorgesehen? Weiß ich dass es sich bei mir um eine Endliche Gruppe handeln muss?
Denn nach dem Satz von Lagrange gilt ja für eine bel. Untergruppe H
$|N|\cdot [G : N] = |G|$
Kann ich aus einem endlichen Index schließen, dass die Gruppe selbst endlich ist?
2.) wenn ich von Elementen ungerader Ordnung spreche, dann heißt das doch automatisch, dass ich Zyklische Teilgruppen haben muss - zumindest wurde bei uns der Begriff der Ordnung in diesem Zusammenhang eingeführt. Wenn dass der Fall ist, aus welcher Bedingung geht hervor, dass es Zyklische Teilgruppen gibt?

Bin mit der Aufgabe nicht wirklich weit, habe bisher nur, dass die Links- und die Rechtsnebenklassen ja übereinstimmen, da N ein Normalteiler ist.

Freue mich über etwas Hilfe und danke vorab
Gruß
Kiwi



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-12 22:46

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Hi Kiwi.
1.) Die Gruppe $\mathbb{S}^1\sube \C^\tm$ aller Komplexer Zahlen mit Absolutbetrag $1$ und Multiplikation Komplexer Zahlen als Gruppenstruktur ist unendlich und enthält gleichzeitig alle Einheitswurzeln, also Komplexe Zahlen $\zeta$ mit $\zeta^n=1$ für ein $n\in \N$.

2.) Wenn $g\in G$ ein Element einer Gruppe ist, dann ist die von $g$ erzeugte Gruppe $\langle g\rangle$ per Definition zyklisch und eine Untergruppe von $G$.

Aus $\abs{G/N}=[G\colon N]=2$ folgt, dass $\forall x\in G$ $x^2\in N$ gilt. Was folgt nun aus $x^{2n+1}=1$?

Viele Grüße



-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Kiwi98
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 23.10.2019
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 11:12


Servus xiao_shi_tou_,

Zu deinem Gegenbeispiel zu 1.), Ist hier die Ordnung der Absolutbetrag? Oder verstehe ich das falsch?

zu 2.): Ja das habe ich jetzt nachvollzogen, dass <g> eine Zyklische Untergruppe ist. Aber wenn g eine Ungerade Ordnung hat, dann heißt das ja, dass $g^{2n+1}=e$ für ein gewisses n aus den Natürlichen Zahlen. dann ist aber doch |<g>| beschränkt und damit die Zyklische Untergruppe endlich oder?
oder würde auch soetwas funktionieren:
(Z,+) als Gruppe und <2>,
dann ist doch $2^{1}=2,\, 2^{2}=4,\, 2^{0}=0 \, (?),\, 2^{-1}=-2\, ...$
|<2>| ist auf jeden Fall unbeschränkt aber kann ich hier jetzt trotzdem von einer Ordnung sprechen?

Viele Grüße



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xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1158
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-14 11:34

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$\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}$
2019-11-14 11:12 - Kiwi98 in Beitrag No. 2 schreibt:
Servus xiao_shi_tou_,

Zu deinem Gegenbeispiel zu 1.), Ist hier die Ordnung der Absolutbetrag? Oder verstehe ich das falsch?

zu 2.): Ja das habe ich jetzt nachvollzogen, dass <g> eine Zyklische Untergruppe ist. Aber wenn g eine Ungerade Ordnung hat, dann heißt das ja, dass $g^{2n+1}=e$ für ein gewisses n aus den Natürlichen Zahlen. dann ist aber doch |<g>| beschränkt und damit die Zyklische Untergruppe endlich oder?
oder würde auch soetwas funktionieren:
(Z,+) als Gruppe und <2>,
dann ist doch $2^{1}=2,\, 2^{2}=4,\, 2^{0}=0 \, (?),\, 2^{-1}=-2\, ...$
|<2>| ist auf jeden Fall unbeschränkt aber kann ich hier jetzt trotzdem von einer Ordnung sprechen?

Viele Grüße

Hi.
Der Absolutbetrag wird nur verwendet um $\S^1$ zu definieren. Eine komplexe Zahl ist in $\S^1$ genau dann wenn der Absolutbetrag dieser Zahl gleich $1$ ist.
Die $z\in \C$ mit $\abs{z}=1$, also die $z\in \S^1$ bilden offenbar eine Gruppe. Diese Gruppe enthält alle Einheitswurzeln. Eine $n$-te Einheitswurzel in $\C$ ist ein Element $\zeta$ in $\C$ mit $\zeta^n=1$.
Wenn du dir die Komplexen Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene darstellst, dann ist $\S^1$ der Einheitskreis und da eine Komplexe Zahl die Form $z=\abs{z}e^{i\pt \theta}$ hat gilt $z\in \S^1\iff z=e^{i\pt \theta}$. Teilst du diesen Kreis in $n$ gleich breite Sektoren, dann sind die Schnittpunkte auf dem Kreis die $n$-ten Einheitswurzeln. Diese haben die Form $\zeta=e^{\frac{k 2\pi i}{n}}$.

Die Ordnung einer $n$-ten Einheitswurzel ist $\leq n$. Denn aus $\zeta^n=1$ folgt $\ord(\zeta)\mid n$, da die Ordnung von $\zeta$ die kleinste Zahl $m$ mit $\zeta^m=1$ ist.

Die Gruppe $\S^1$ enthält also jede Menge Elemente endlicher Ordnung. Dennoch ist sie unendlich, denn es gibt unendlich viele Komplexe Zahlen mit Absolutbetrag $1$. Es ist auch nicht schwierig ein Element in $\S^1$ unendlicher Ordnung anzugeben.
Wenn $\theta$ eine irrationale Zahl ist, dann hat $e^{i\pi \theta}$ uendliche Ordnung.
Ist $\theta$ rational, also etwa $\theta=\frac{m}{n}$ dann gilt
$(e^{i\pi \theta})^{m\pt 2}=e^{2\pi \pt i \pt n}=1$. Also hat dieses Element endliche Ordnung.

Wie du richtig sagst folgt aus $g^{2n+1}$, dass $\langle g\rangle$ endlich ist.
Ein Beispiel für eine unendliche zyklische Gruppe ist $3\Z=\langle 3\rangle\sube \Z$.
\(\endgroup\)


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Kiwi98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 13:41


Sali.
Das Beispiel habe ich jetzt verstanden, danke :-)
Kann ich dann im dem Fall von <3> in nZ also nicht von einer Ordnung sprechen?

LG



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-14 14:05


Hallo,
jedes Element einer beliebigen Gruppe wird eine Ordnung zugeschrieben, siehe hier



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Kiwi98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 15:04


Hallo,
Gut dann sollte das mit der Ordnung jetzt auch klar sein.
Könnte mir noch jemand einen Ansatz für die Aufgabe liefern?
Soweit ist ja klar, dass G endlich ist und |G/N|=2. wie kann ich nun zeigen dass ungerade Elemente in N enthalten sein müssen?
LG



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-15 15:30

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2019-11-15 15:04 - Kiwi98 in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo,
Gut dann sollte das mit der Ordnung jetzt auch klar sein.
Könnte mir noch jemand einen Ansatz für die Aufgabe liefern?
Soweit ist ja klar, dass G endlich ist und |G/N|=2. wie kann ich nun zeigen dass ungerade Elemente in N enthalten sein müssen?
LG
Hi.
Einen Ansatz (eigentlich schon fast die Lösung) habe ich dir schon gegeben.
Die Quotientengruppe $G/N$ hat Ordnung $[G\colon N]=2$.
Das bedeutet, dass für alle $gN\in G/N$ gilt $(gN)^2=g^2N=1_{G/N}=N$. Das impliziert $g^2\in N$ für alle $g\in G$.
Sei $x\in G$ von ungerader Ordnung, also etwa $\ord(x)=2n+1$.
Es gilt also $x^{2n+1}=1$.
Habe $1=x^{2n+1}=(x^{2n})x=(x^n)^2 x=n\pt x$ mit $n\in N$.
Wie zeigst du jetzt $x\in N?$. (Nur ein kleiner Schritt).
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-16 20:41


Hi,
@Kiwi98: G muss nicht endlich sein. Aber der Beweis funktioniert auch für G unendlich



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Kiwi98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 18:03

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2019-11-15 15:30 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 7 schreibt:
Hi.
Einen Ansatz (eigentlich schon fast die Lösung) habe ich dir schon gegeben.
Die Quotientengruppe $G/N$ hat Ordnung $[G\colon N]=2$.
Das bedeutet, dass für alle $gN\in G/N$ gilt $(gN)^2=g^2N=1_{G/N}=N$. Das impliziert $g^2\in N$.
Sei $x\in G$ von ungerader Ordnung, also etwa $\ord(x)=2n+1$.
Es gilt also $x^{2n+1}=1$.
Habe $1=x^{2n+1}=(x^{2n})x=(x^n)^2 x=n\pt x$ mit $n\in N$.
Wie zeigst du jetzt $x\in N?$. (Nur ein kleiner Schritt).
Danke schonmal Vorab.
Da N ja eine Untergruppe ist (da Normalteiler) und $x^{2n+1}=1$ ist x das inverse zu $x^{2n}=n$. Somit ist x in N enthalten, aufgrund der Gruppeneigenschaften.
Danke an die Helfer :)
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Buri
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2019-11-17 18:03 - Kiwi98 in Beitrag No. 9 schreibt:
..., aufgrund der Gruppeneigenschaften.
Hi Kiwi98,
es muss vor allem der Hilfssatz bewiesen werden, dass x2∈N für alle x ∈ G gilt. Dies folgt nicht unmittelbar aus den Gruppeneigenschaften.
Gruß Buri



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