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  Faktorgruppe allgemeine lineare Gruppe GL(n,R) |
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SergejGleitman
Junior 
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 8
 |      Themenstart: 2019-11-13 20:40
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Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Gegeben ist die Faktorengruppe $GL(n,\mathbb{R})/GL^+(n, \mathbb{R})$, hierbei ist $GL^+(n, \mathbb{R}) = \{A\in GL(n,\mathbb{R})| det(A)>0\}$.
Ich habe schon verifiziert, dass $GL^+(n, \mathbb{R})$ Normalteiler in $GL(n, \mathbb{R})$ ist.
Nun soll ich die Faktorengruppe beschreiben bzw. eine mir bekannte dazu isomorphe Gruppe nennen.
Ich habe gehört, dass für $n = 2$, $\mathbb{Z}$ und für $n>2$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ in Frage kommen, verstehe allerdings nicht warum.
Grade letzteres würde ja implizieren, dass es nur 2 Repräsentantenklassen gibt, wohingegen ersteres sogar abzählbar viele Repräsentantenklassen impliziert.
(Oder liege ich da falsch?)
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen? 
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wladimir_1989
Senior 
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1245
Aus: Freiburg
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-13 21:07
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Hallo Sergej und willkommen auf dem Matheplaneten,
tatsächlich gilt für alle n, dass die Faktorgruppe isomorph zu \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
Zum Beweis: nehme zwei beliebige Elemente, die nicht in \(G^+(n,\mathbb{R})\) liegen. Zeige, dass diese Elemente zur gleichen Nebenklasse gehören.
lg Wladimir
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SergejGleitman
Junior
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 22:27
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2019-11-13 21:07 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Sergej und willkommen auf dem Matheplaneten,
tatsächlich gilt für alle n, dass die Faktorgruppe isomorph zu \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
Zum Beweis: nehme zwei beliebige Elemente, die nicht in \(G^+(n,\mathbb{R})\) liegen. Zeige, dass diese Elemente zur gleichen Nebenklasse gehören.
lg Wladimir
Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Wenn ich nun $A,B\notin G^+(n,\mathbb{R})$ nehme dann gilt ja $-E_n\cdot (-A) \in G(n,\mathbb{R})/G^+(n,\mathbb{R})$ sowie $-E_n\cdot (-B) \in G(n,\mathbb{R})/G^+(n,\mathbb{R})$, denn $-A,-B \in G^+(n,\mathbb{R})$, da $det(A)<0>det(B)$.
Jetzt habe zwei Nebenklassen, die disjunkt sind und deren Vereinigung $G(n,\mathbb{R})$ ergibt.
Dann kann ich mir einen Isomorphismus definieren, der anhand der Determinante auf 1 oder 0 abbildet und bin fertig.
Habe ich deine Argumentation richtig verstanden?
Liebe Grüße Sergej
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wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1245
Aus: Freiburg
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-13 23:11
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Hi,
2019-11-13 22:27 - SergejGleitman in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn ich nun $A,B\notin G^+(n,\mathbb{R})$ nehme dann gilt ja $-E_n\cdot (-A) \in G(n,\mathbb{R})/G^+(n,\mathbb{R})$ sowie $-E_n\cdot (-B) \in G(n,\mathbb{R})/G^+(n,\mathbb{R})$, denn $-A,-B \in G^+(n,\mathbb{R})$, da $det(A)<0>det(B)$.
Jetzt habe zwei Nebenklassen, die disjunkt sind und deren Vereinigung $G(n,\mathbb{R})$ ergibt.
Dann kann ich mir einen Isomorphismus definieren, der anhand der Determinante auf 1 oder 0 abbildet und bin fertig.
Habe ich deine Argumentation richtig verstanden?
Liebe Grüße Sergej
leider verstehe ich nicht so wirklich, was du machst. Im Übrigen gilt
\[\text{det}(-A)=(-1)^n\text{det}(A)\],
die Determinante von -A ist also nicht unbedingt positiv. Ich wollte eigentlich auf Folgendes hinaus: seien \(A, B\) gegeben mit det(A)<0 und det(B)<0, dann gilt \(\text{det}(AB^{-1})>0\) und damit liegen A und B in der selben Nebenklasse. Der Isomorphismus ist richtig, das ist hier aber im Prinzip nicht nötig, da es sowieso bis auf Isomorphie nur eine Gruppe mit 2 Elementen gibt.
lg Wladimir
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SergejGleitman
Junior
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 23:27
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2019-11-13 23:11 - wladimir_1989 in Beitrag No. 3 schreibt:
Hi,
leider verstehe ich nicht so wirklich, was du machst. Im Übrigen gilt
\[\text{det}(-A)=(-1)^n\text{det}(A)\],
die Determinante von -A ist also nicht unbedingt positiv. Ich wollte eigentlich auf Folgendes hinaus: seien \(A, B\) gegeben mit det(A)<0 und det(B)<0, dann gilt \(\text{det}(AB^{-1})>0\) und damit liegen A und B in der selben Nebenklasse. Der Isomorphismus ist richtig, das ist hier aber im Prinzip nicht nötig, da es sowieso bis auf Isomorphie nur eine Gruppe mit 2 Elementen gibt.
lg Wladimir
Okay, das hat mir geholfen. Aber warum weiß ich, dass A und B in der selben Nebenklasse liegen, wenn \(\text{det}(AB^{-1})>0\) gilt?
LG Serj
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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4122
Aus: Berlin
 |  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-13 23:31
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$\det : \mathrm{GL}(n,\IR) \to \IR^{\times}$ ist ein surjektiver Homomorphismus in eine abelsche Gruppe mit $\det^{-1}(\IR^+) = \mathrm{GL}^+(n,\IR)$. Daraus folgt (ohne weitere Rechnung), dass $\mathrm{GL}^+(n,\IR)$ ein Normalteiler mit $\mathrm{GL}(n,\IR) / \mathrm{GL}^+(n,\IR) \cong \IR^{\times}/ \IR^{+}$ ist. Darüber hinaus ist natürlich $\IR^{\times} / \IR^{+} \cong \{\pm 1\}$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1245
Aus: Freiburg
| Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-14 00:33
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Hallo
Okay, das hat mir geholfen. Aber warum weiß ich, dass A und B in der selben Nebenklasse liegen, wenn \(\text{det}(AB^{-1})>0\) gilt?
LG Serj
Die Äquivalenzrelation zu \(G/H\) ist ja gerade so definiert, dass \(a \sim b\), falls \(ab^{-1} \in H\) oder \(Ha=Hb\). Wegen det\((AB^{-1})>0\) haben wir aber gerade \(AB^{-1} \in GL^+(n,\mathbb{R})\).
lg Wladimir
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SergejGleitman
Junior
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 08:06
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2019-11-14 00:33 - wladimir_1989 in Beitrag No. 6 schreibt:
Die Äquivalenzrelation zu \(G/H\) ist ja gerade so definiert, dass \(a \sim b\), falls \(ab^{-1} \in H\) oder \(aH=bH\).
Alles klar, das ist natürlich smart. Vielen lieben Dank!
LG Serj
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