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    Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Kategorientheorie: warum Menge statt Klasse?    		Druckversion
    Druckversion
    Autor
    Universität/Hochschule J Kategorientheorie: warum Menge statt Klasse?
    Red_
    Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 28.09.2016
    Mitteilungen: 570
    Aus: Erde
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-16 22:46


    Hallo,
    in der Kategorientheorie wird manchmal die Morphismenmenge zwischen zwei Objekte als Menge gefordert und nicht als Klasse (etwa wie im Buch von M. Brandenburg). Hat das wesentliche Gründe? Ich kenne mich noch sehr wenig mit Kategorientheorie aus und frage deshalb.

    Red_



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    tactac
    Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 15.10.2014
    Mitteilungen: 1601
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-16 23:31

    \(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
    Ein Nutzen ist, dass man für Kategorien $\mathcal C$ und Objekte $X\in\mathcal C$ die Abbildung $\mathcal C(X,-)$, die Objekte $Y \in \mathcal C$ auf die Morphismenmenge $\mathcal C(X,Y)$ schickt, als Objekt-Abbildungs-Teil eines Funktors $\mathcal C \to \mathbf{Set}$ sehen kann und $\mathcal C(-,-)$ als Objekt-Abbildungs-Teil eines Funktors $\mathcal C^\text{op}\times \mathcal C \to \mathbf{Set}$.    \(\endgroup\)

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    Triceratops
    Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 28.04.2016
    Mitteilungen: 4152
    Aus: Berlin
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-17 16:37


    Wenn die Morphismen $\mathrm{Hom}(X,Y)$ immer eine Menge bilden, spricht man von einer lokal-kleinen Kategorie (locally small category). Was tactac geschrieben hat, lässt sich dann auch so ausdrücken, dass lokal-kleine Kategorien gerade die $\mathbf{Set}$-angereicherten Kategorien sind. Man ist also näher beim Standard-Beispiel $\mathbf{Set}$, und tatsächlich ist das Yoneda-Lemma ein Beleg dafür, dass sich viele Grundlagen der Kategorientheorie auf $\mathbf{Set}$ zurückführen lassen (zum Beispiel ist $f : X \to Y$ genau dann ein Isomorphismus in einer Kategorie, wenn für alle Objekte $T$ die Abbildung $f^* : \mathrm{Hom}(Y,T) \to \mathrm{Hom}(X,T)$ ein Isomorphismus in $\mathbf{Set}$ ist). Ein anderer wesentlicher Grund ist, dass 99% der Kategorien aus der Praxis lokal-klein sind. Weil die Kategorientheorie wie jede andere mathematische Theorie dazu da ist, um (innerhalb oder außerhalb der Mathematik) angewendet zu werden, bietet es sich daher an, Kategorien vornherein als lokal-klein anzunehmen. Im Buch von M. Brandenburg wird das auch explizit als Motivation genannt (Bemerkung 2.2.6). Einige Beispiele für Kategorien, die nicht lokal-klein sind, stehen bei MO/3278.

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    Red_
    Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 28.09.2016
    Mitteilungen: 570
    Aus: Erde
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 16:59


    Ah, vielen Dank!

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    Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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