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Lineare Algebra » Vektorräume » Dimension und komplementärer Untervektorraum
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Universität/Hochschule Dimension und komplementärer Untervektorraum
maiena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19


Sei I eine endliche Indexmenge und J ⊂ I. Geben Sie einen zum Unterraum U_J ≤ K^I der K-wertigen Funktionen mit Nullstellenmenge J,
U_J :={f ∈K^I |f|J =0}≤K^I, komplement ̈aren Unterraum U′ an und bestimmen Sie dessen Dimension.

Kann mir bitte wer helfen das Beispiel zu lösen.
Danke im Voraus



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19


Hallo,

was hast du dir denn dazu schon überlegt? Kennst du die Definitionen von allen vorkommenden Begriffen? Was genau verstehst du nicht?



-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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maiena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19


Ja ich kenne die Definitionen. Mein größtes Problem ist glaube ich, wie ich mir die Menge der Untervektorraums U_J vorstellen kann.
 



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

dann probier das doch mal für \(I=\{1,2,3\}\) und \(J=\{1,2\}\) aus.

Wally
\(\endgroup\)


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maiena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19


Ich weiß, dass U_J+U`=K^I
und ich weiß dass der U_J= die Menge der f von K^I für die gilt der Quotientenraum von f|J = 0.
aber wie kann ich dann den Unterraum bestimmen. Habs mit den vorgegebenen Angaben versucht aber bin zu keinem Ergebnis gekommen.



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maiena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20


Oder versteh ich da was falsch?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-20


Möglich? Jedenfalls geht es hier nicht um Quotientenräume. Ich seh auch nicht, dass du versucht hast, den Tipp von Wally umzusetzen. Es ist oft so, dass man erstmal sich eine Intuition anhand von Beispielen erarbeiten muss. Mach das mal, dann ist die Aufgabe ganz leicht.



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maiena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20


Stimmt dass bei dem Beispiel der Untervektorraum U_J die Menge von f(1),f(2) ist und deshalb der komplementäre Untervektorraum U' die Menge f(3) Ist?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-20


Nein. Vielleicht hast du die richtige Idee. Aber die $f(i)$ ($i=1,2,3$) sind Skalare (Elemente von $K$), keine Vektoren (in dem Fall Funktionen $I\to K$). Das kann von vornherein also nicht stimmen.

Fangen wir mal einfacher an. Sei $I=\{1,2\}$. Beschreibe den Vektorraum $\IR^I$. Was ist seine Dimension? Gib eine Basis an.



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maiena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20


Die Basis wäre ja b_1(0,1) und b_2(1,0), also hat er die Dimension 2



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-20


Die Elemente sind Funktionen $I\to \IR$, du weißt wie man Funktionen angibt. Was bedeutet $b_1(0,1)$? Ist das eine mir unbekannte Notation für eine Funktion?



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maiena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20


Nein ich meine Damit den Vektor  1  und   0
                                                        0           1



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-20


Das ist aber keine Funktion.



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maiena
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20


Sie wollten ja das ich den Vektorraum beschreibe



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-20


Hallo,

ich glaube, dass du im Forum alle duzen darfst.
2019-11-20 12:53 - maiena in Beitrag No. 11 schreibt:
Nein ich meine Damit den Vektor  1  und   0
                                                        0           1
Der Vektorraum $K^I$ enthält Funktionen $I\to K$ und keine Vektoren $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ oder $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$. Nehmen wir an, dass $K=\mathbb{R}$ und $I=\{1,2,3\}$ sind, so sind zwei Funktionen aus $K^I$ beispielsweise
\[f(x)=\begin{cases}1,&\text{für $x\in\{1,2\}$}\\0,&\text{für $x=3$}\end{cases}\quad\text{und}\quad g(x)=\begin{cases}-7,&\text{für $x\in\{1,2\}$}\\0,&\text{für $x=3$}\end{cases}.\]
Offenbar gilt $7f(x)+g(x)=0$ für alle $x\in I$. Sie sind deshalb nicht linear unabhängig. Wie viele linear unabhängige Funktionen kannst du in $K^I$ finden?



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maiena hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
maiena hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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