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  Kongruenz von Quadratzahlen mod 7 |
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Bfg97
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 |      Themenstart: 2019-11-19 18:38
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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 18:58
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Hallo,
ich nehme jetzt mal an, dass \(i\in\IZ\) gemeint ist (was auch sonst  ).
Untersuche doch mal die aufsteigende Folge der Quadratzahlen daraufhin, in welchen Restklassen modulo 7 sie liegen. Dass es da ein Muster gibt, das sich nach 7 Quadratzahlen wiederholt, das zu zeigen ist ein Einzeiler (Stichwort Binomische Formel...).
Für einen solchen Zyklus rechnet man die Kongruenzen dann am besten einzeln nach. Dann noch 1 dazuaddiert ergibt deine obige Behauptung nebst der Tatsache, dass auch \((1+i^2)\operatorname{mod}7\neq 4\) gilt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Bfg97
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:08
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2019-11-19 18:58 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
ich nehme jetzt mal an, dass \(i\in\IZ\) gemeint ist (was auch sonst ).
Untersuche doch mal die aufsteigende Folge der Quadratzahlen daraufhin, in welchen Restklassen modulo 7 sie liegen. Dass es da ein Muster gibt, das sich nach 7 Quadratzahlen wiederholt, das zu zeigen ein Einzeiler (Stichwort Binomische Formel...).
Für einen solchen Zyklus rechnet man die Kongruenzen dann am besten einzeln nach. Dann noch 1 dazuaddiert ergibt deine obige Behauptung nebst der Tatsache, dass auch \((1+i^2)\operatorname{mod}7\neq 4\) gilt.
Gruß, Diophant
Ich habe jetzt die Quadratzahlen von 1 bis 15 modulo 7 betrachtet und dabei die Reste 1,4,2,2,4,1,0 erhalten, die sich wiederholen. Wie kann man beweisen, dass sich dieses Muster immer weiter wiederholt? Muss ich dafür (7n+1)^2, (7n+2)^2 bis (7n+6)^2 betrachten?\(\endgroup\)
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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19 19:11
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Hallo,
multipliziere mal das Binom \((i+7)^2\) aus und studiere das Resultat. Liegt dieses Quadrat jeweils in der gleichen Restklasse mod 7 wie \(i^2\) oder in einer anderen?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Bfg97
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:15
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2019-11-19 19:11 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,
multipliziere mal das Binom \((i+7)^2\) aus und studiere das Resultat. Kann sich durch die Addition von 7 die Restklasse mod 7 ändern?
Gruß, Diophant
Ich würde sagen, dass sie gleich bleibt, da der letzte Teil von i^2+14i+49 immer ein Vielfaches von 7 ist, genauso wie der mittlere Teil, da 14=7*2\(\endgroup\)
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-19 19:25
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Hallo,
2019-11-19 19:15 - Bfg97 in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-11-19 19:11 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,
multipliziere mal das Binom \((i+7)^2\) aus und studiere das Resultat. Kann sich durch die Addition von 7 die Restklasse mod 7 ändern?
Gruß, Diophant
Ich würde sagen, dass sie gleich bleibt, da der letzte Teil von i^2+14i+49 immer ein Vielfaches von 7 ist, genauso wie der mittlere Teil, da 14=7*2
Genau. Kurz ausgedrückt: \(7\mid 14i+49\Rightarrow i^2\mod 7\equiv (i+7)^2\mod 7\).
Wenn man es ganz überkorrekt machen will, kann man (für \(n\in\IN\)) auch das Binom \((i+7n)^2=i^2+14in+49n^2\) betrachten.
Ist dir der Rest dann klar?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Bfg97
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:31
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2019-11-19 19:25 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,
2019-11-19 19:15 - Bfg97 in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-11-19 19:11 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,
multipliziere mal das Binom \((i+7)^2\) aus und studiere das Resultat. Kann sich durch die Addition von 7 die Restklasse mod 7 ändern?
Gruß, Diophant
Ich würde sagen, dass sie gleich bleibt, da der letzte Teil von i^2+14i+49 immer ein Vielfaches von 7 ist, genauso wie der mittlere Teil, da 14=7*2
Genau. Kurz ausgedrückt: \(7\mid 14i+49\Rightarrow i^2\mod 7\equiv (i+7)^2\mod 7\).
Wenn man es ganz überkorrekt machen will, kann man (für \(n\in\IN\)) auch das Binom \((i+7n)^2=i^2+14in+49n^2\) betrachten.
Ist dir der Rest dann klar?
Gruß, Diophant
Denke schon. Da immer der Rest i^2 bleibt, was bei mod 7 immer 0,1,2,4 ergibt. Nun kann man i^2+1 bestimmen, was dann den möglichen Rest auf 1,3,5 ändert.
Vielen Dank, Diophant :D\(\endgroup\)
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Diophant
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|  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-19 20:48
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
nur der Vollständigkeit halber: die vorkommenden Restklassen für \((1+i^2)\mod 7\) sind 1, 2, 3 und 5.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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