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Mechanik » Dynamik der Punktmasse » Geschwindigkeit eines Massenpunktes mit Trennung der Variablen bestimmen
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Universität/Hochschule Geschwindigkeit eines Massenpunktes mit Trennung der Variablen bestimmen
chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-20 01:10


Hallo an alle, auch wenn es etwas spät :-D

Ich tue mich bei einer Übungsaufgabe des letzten Übungsblattes schwer, in dem es mehr oder weniger um Differentialgleichungen geht.

Die Aufgabe lautet so:






Wir haben also eine Masse $m = 80 Kg$ und eine Anfangsgeschwindigkeit $v_{0} = 180 Km/h = 50 m/s$.

Und bei der a) ist die Geschwindigkeit $v(t)$ nach dem Öffnen des Schirms unter der Annahme (Bedingung?), dass $F_{R} = 6 \pi n r v$ (mit $n = 17.1 \cdot 10^{-5} N s m^{-2}$) und $r = 5m$ gesucht.

Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie man aus diesen Informationen nun eine Differentialgleichung aufstellt, die man am Ende mit Trennung der Variablen lösen kann...  :-(

Ich hocke an dieser Aufgabe seit ein paar Stunden, ohne weiter zu kommen. Das ist echt frustrierend...

Kann mir da jemand dabei helfen?



Die b) und c) sind vermutlich nicht so schwierig, wenn man einmal die Geschwindigkeit $v(t)$ berechnet hat. Die würde ich dann wieder selber noch einmal versuchen, sobald ich die a) hinbekommen habe.


Ich bedanke mich schon einmal im Voraus.

Euer, Chicolino





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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-20 06:30


Hallo Chicolino,

Du gelangst mit Hilfe des Bewegungsgesetzes von Newton direkt zu einer Differentialgleichung für die Geschwindigkeit.

Überlege Dir, welche Kraft außer der geschwindigkeitsabhängigen Reibkraft noch wirkt, und danach nutze Newton: Kraft = Masse mal Beschleunigung, wobei die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist.

Melde Dich einfach nochmal, wenn Du jetzt immer noch nicht weiterkommst.

Gruß
Juergen



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 14:46


Hi! Danke für deine Hilfe.



Überlege Dir, welche Kraft außer der geschwindigkeitsabhängigen Reibkraft noch wirkt, und danach nutze Newton: Kraft = Masse mal Beschleunigung, wobei die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist.





Also, auf den Fallschirmspringer wirkt einerseits die Gewichtskraft $\vec{F_{g}}$, die nach unten zeigt.

Andererseits wirkt auf den Fallschirmspringer die Luftreibungskraft $\vec{F_{R}}$, die nach oben zeigt.


Nach Annahme gilt: $\vec{F_{R}} = 6 \pi n r v = 6 \cdot \pi \cdot 17.1 \cdot 10^{-5} \cdot 5 \cdot \left(\begin{array}{c}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)
 \\ v_{3}(t) \end{array}\right) = 30\pi \cdot 17.1 \cdot 10^{-5} \cdot  \left(\begin{array}{c}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)
 \\ v_{3}(t) \end{array}\right)$




$ =  3\pi \cdot 171 \cdot 10^{-5} \cdot  \left(\begin{array}{c}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)
 \\ v_{3}(t) \end{array}\right) = 3\pi \cdot 171 \cdot 10^{-5} \cdot  \left(\begin{array}{c}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)
 \\ v_{3}(t) \end{array}\right) = 3\pi \cdot 0.00171  \cdot \left(\begin{array}{c}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)
 \\ v_{3}(t) \end{array}\right) $

$= 0.00513 \pi  \cdot \left(\begin{array}{c}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)
 \\ v_{3}(t) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0.00513 \pi \cdot v_{1}(t)\\ 0.00513 \pi \cdot v_{2}(t)
 \\ 0.00513 \pi \cdot  v_{3}(t) \end{array}\right) $

Die Einheiten lasse ich hier kurz weg, damit das übersichtlicher wird.


Wenn ich nun die Gesamtkraft berechne, die auf diesen Fallschirmspringer wirkt, dann erhalte ich:


$\vec{F} =  \vec{F_{g}} + \vec{F_{R}} = \left(\begin{array}{c}0\\ 0
 \\ - mg \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0.00513 \pi \cdot v_{1}(t)\\ 0.00513 \pi \cdot v_{2}(t)
 \\ 0.00513 \pi \cdot  v_{3}(t) \end{array}\right) =  \left(\begin{array}{c} 0.00513 \pi \cdot  v_{1}(t)\\ 0.00513 \pi \cdot v_{2}(t)
 \\ 0.00513 \pi \cdot  v_{3}(t) -  mg \end{array}\right)  $




Und das zweite Newtonsche Gesetz besagt nun: $\vec{F} = m \cdot \vec{a}  = 80 \cdot \left(\begin{array}{c}\dot{v_{1}}(t)\\ \dot{v_{2}}(t)
 \\ \dot{v_{3}}(t) \end{array}\right)$


Also gilt nach dem 2.Newtonschen Axiom:



$\vec{F} =  \vec{F_{g}} + \vec{F_{R}} = \left(\begin{array}{c} 0.00513 \cdot v_{1}(t)\\ 0.00513 \pi \cdot v_{2}(t)
 \\ 0.00513 \pi \cdot  v_{3}(t) -  mg \end{array}\right) =  80 \cdot \left(\begin{array}{c}\dot{v_{1}}(t)\\ \dot{v_{2}}(t)
 \\ \dot{v_{3}}(t) \end{array}\right) \Leftrightarrow


\left(\begin{array}{c} \frac{0.00513 \pi \cdot v_{1}(t)}{80}\\\frac{0.00513 \pi \cdot v_{2}(t)}{80}
 \\ \frac{0.00513 \pi \cdot  v_{3}(t) -  mg}{80} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\dot{v_{1}}(t)\\ \dot{v_{2}}(t)
 \\ \dot{v_{3}}(t) \end{array}\right)
$



$\left(\begin{array}{c}\dot{v_{1}}(t)\\ \dot{v_{2}}(t)
 \\ \dot{v_{3}}(t) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{0.00513 \pi \cdot v_{1}(t)}{80}\\\frac{0.00513 \pi \cdot v_{2}(t)}{80}
 \\ \frac{0.00513 \pi \cdot  v_{3}(t) -  mg}{80} \end{array}\right)$ ist also die DGL, die ich lösen muss?

 Freue mich auf eine Rückmeldung!

mfg, Chico



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-20 15:30


Hallo

Ich verstehe nicht, warum du die Geschwindigkeit splittest. Für mich ist nur die Bewegung in z-Richtung wichtig.

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Gruß Caban



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-20 15:59


Wahrscheinlich hat Caban Recht und es müsste in der Aufgabenstellung heißen: Springt aus einem Ballon. Springt er aus einem Flieger, wird die Sache mindestens zweidimensional.

Gruß Dietmar  



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-20 16:13


Hallo

Da aber vom Flugzeug nichts gegeben ist, kann man es nicht einbeziehen.

Aber ich habe die Vorzeichen überarbeitet.

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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-20 16:28


Hallo zusammen,

@Caban: ja, deine zweite Version aus #5 ist richtig. Und dann gilt es natürlich noch, das eigentliche AWP zu lösen.


Gruß, Diophant



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 20:58


Tut mir Leid, ich hatte bis vor einer Dreiviertelstunde noch eine Veranstaltung und konnte eure Antworten kurz lesen, aber nicht darauf antworten.


2019-11-20 16:13 - Caban in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo

Da aber vom Flugzeug nichts gegeben ist, kann man es nicht einbeziehen.

Aber ich habe die Vorzeichen überarbeitet.

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Danke für deinen Tipp. Es macht natürlich Sinn, nur die Bewegung in $z$ - Richtung zu betrachten.

Hat es einen Vorteil, wenn ich, wie bei dir, die Vorzeichen überarbeite? Oder kann ich auch $ m*dv/dt=-m*g+6*\pi*\eta*r*v$
lösen?


2019-11-20 16:28 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo zusammen,

@Caban: ja, deine zweite Version aus #5 ist richtig. Und dann gilt es natürlich noch, das eigentliche AWP zu lösen.


Gruß, Diophant

Ach so, klar. Naja, wenn ich meine Geschwindigkeit nach dem Öffnen des Fallschirms berechne, dann habe ich zum Zeitpunkt $t = 0$ noch die Geschwindigkeit von $v_{0} = 180 km/h = 50 m/s$, weil ich mit ungeöffnetem Fallschirm eben bis auf diese Geschwindigkeit beschleunige.


Wir haben also noch das AWP $v(0) = 50 m/s$, oder?


mfg, chico



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-20 21:03


Hallo Chico,

beim Vorzeichen gibt es nichts zu "bearbeiten". Es kommt äußerst selten vor, daß Fallschirmspringer nach dem Absprung statt Richtung Erde ins Weltall fliegen. Was in Beitrag No.5 steht, macht also Sinn, :-)

Gruß
Juergen



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 21:15


Und bei der b) habe ich einen Ansatz:



Wenn der Fallschirmspringer seine Endgeschwindigkeit erreicht, dann ist diese konstant. Diese verändert sich ja nicht mehr.

Und wenn die Geschwindigkeit konstant ist, dann ist die Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt Null.


Könnte man dann nicht einfach die Geschwindigkeit (die wir bei a) bestimmt haben) ableiten, gleich 0 setzen und nach t auflösen?

Dann setzen wir dieses $t$ in die in a) berechnete Geschwindigkeit ein und wir hätten dann unsere Endgeschwindigkeit.


Würde das so gehen, oder habe irgendwo einen Denkfehler?



Mfg, euer Chico

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 21:19


2019-11-20 21:03 - Spock in Beitrag No. 8 schreibt:
Hallo Chico,

beim Vorzeichen gibt es nichts zu "bearbeiten". Es kommt äußerst selten vor, daß Fallschirmspringer nach dem Absprung statt Richtung Erde ins Weltall fliegen. Was in Beitrag No.5 steht, macht also Sinn, smile

Gruß
Juergen

Da bin ich deiner Meinung biggrin

Aber so wie es im Beitrag 3 steht, macht doch auch Sinn, oder?

Also, dass $F = F_{g} +  F_{r} =  - m*g+6*\pi*\eta*r*v$ gilt.

mfg, Chico




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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-20 21:29


Hallo

Dein Ansatz zur b ist leider falsch. Die Geschwindigkeit wird nur annähernd konstant, aber nicht absolut konstant. Um die b zu lösen kannst du a gleich null setzen und nach v umstellen. Der Ansatz in Beitrag 3 ist falsch. Die Reibungskraft ist immer der Bewegung entgegengesetzt.

Gruß Caban



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-20 21:31


Hallo Chico,

nein, was in Beitrag No.3 steht stimmt so nicht. Die Beschleunigung muß die gleiche Richtung haben wie die Schwerkraft, also

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ist richtig, und das hat ja Caban später in Beitrag No.5 auch so korrigiert.

Bevor Du Dich an den Teil b) und c) der Aufgabe machst, solltest Du die einzelnen Schritte zur Lösung der DGL mal sauber hinschreiben, ohne gleich Zahlen einzusetzen.

Gruß
Juergen

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 02:18



2019-11-20 21:29 - Caban in Beitrag No. 11 schreibt:
Hallo

Dein Ansatz zur b ist leider falsch. Die Geschwindigkeit wird nur annähernd konstant, aber nicht absolut konstant. Um die b zu lösen kannst du a gleich null setzen und nach v umstellen. Der Ansatz in Beitrag 3 ist falsch.
Gruß Caban


Wieso wird sie nicht absolut konstant? Und welche a meinst du genau? die Beschleunigung oder die a)?  biggrin

Ist bestimmt eine doofe Frage von mir, aber ich peile es gerade nicht ganz.





Die Reibungskraft ist immer der Bewegung entgegengesetzt.


Ach stimmt, klar. Okay, dann habe ich das jetzt verstanden, vielen Dank!





Bevor Du Dich an den Teil b) und c) der Aufgabe machst, solltest Du die einzelnen Schritte zur Lösung der DGL mal sauber hinschreiben, ohne gleich Zahlen einzusetzen.

Gruß
Juergen



Okay, ich versuche das Schritt für Schritt.

Die DGl der Form $\dot{v(t)} = c(t) \cdot f(v(t))$ mit AWP $v(t_{0}) = v_{0}$

lässt sich lösen durch: $\int_{v_{0}}^{v} \frac{1}{f(z)} dz = \int_{t_{0}}^{t} c(s) ds $





Nun habe ich die DGL $m \dot{v(t)}  = m g-6 \pi \eta r v \Leftrightarrow \dot{v(t)} = \frac{m g-6 \pi \eta r v}{m} = g - \frac{6 \pi \eta r v}{m} $

mit AWP $v(0) = 50 m/s$



Damit habe ich dann:

 $\int_{v_{0}}^{v} \frac{1}{f(z)} dz = \int_{v_{0}}^{v} \frac{1}{\frac{6 \pi \eta r z}{m}} dz = \int_{v_{0}}^{v} \frac{m}{6 \pi \eta r z} dz = \left [ - \frac{6m\pi \eta r}{(6 \pi \eta  r z )^{2}} \right ]_{v_{0}}^{v}  = - \frac{6m\pi \eta r}{(6 \pi \eta  r v )^{2}} - ( - \frac{6m\pi \eta r}{(6 \pi \eta  r v_{0} )^{2}})$

$ =  - \frac{6m\pi \eta r}{(6 \pi \eta  r v )^{2}} +  \frac{6m\pi \eta r}{(6 \pi \eta  r v_{0} )^{2}} $

und

$\int_{t_{0}}^{t} c(s) ds = \int_{t_{0}}^{t} s ds = \left [ \frac{1}{2} s^{2} \right ]_{t_{0}}^{t} = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{2} t_{0}^{2}  $


Durch gleichsetzen erhalte ich


$- \frac{6m\pi \eta r}{(6 \pi \eta  r v )^{2}} +  \frac{6m\pi \eta r}{(6 \pi \eta  r v_{0} )^{2}} =  \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{2} t_{0}^{2} \Leftrightarrow v = \frac{\sqrt{\frac{(12m \pi \eta r)(6 \pi \eta r v_{0})^{2}}{12m \pi  \eta r - (t^{2} - t_{0}^{2})(6 \pi \eta r v_{0})^{2} }}}{6 \pi \eta r}$

Passt das so?
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.


lg, Chico




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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-21 06:14


Hallo Chico!

2019-11-21 02:18 - chicolino in Beitrag No. 13 schreibt:
...
Passt das so?

Nein, leider nicht. Du hast u.U. noch Probleme bei der Methode der Trennung der Veränderlichen. Nochmal ganz langsam von vorne:
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Melde Dich, wenn Du nicht weiterkommst.

Gruß
Juergen



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 20:38


So, da bin ich mal wieder. Musste mich davor noch einmal mit Trennung der Variablen beschäftigen und mit Integration durch Substitution. Ist noch alles etwas neu für mich.



Also, ich habe:


$\int \frac{1}{g - K \cdot v} dv = \int  1 dt$


Rechte Seite
_____________


Löse ich durch Integration durch Substitution:


Sei $z:= g - K \cdot v$.

Dann haben wir $\int \frac{1}{g - K \cdot v} dv = \int \frac{1}{z} dv$


Es ist $\frac{dz}{dv}  = - k \Leftrightarrow dv = - \frac{dz}{k}$

Dann haben wir:

$\int \frac{1}{g - K \cdot v} dv = \int \frac{1}{z} dv = \int \frac{1}{z}  \cdot (- \frac{dz}{k}) = - \frac{1}{k} \int \frac{1}{z} dz = - \frac{ln(\vert z \vert)}{k} + c_{1} = - \frac{ln(\vert g - K \cdot v \vert)}{k} + c_{1}  $




Linke Seite
____________


$\int  1 dt = t + c_{2}$


Somit erhalten wir die Gleichhung

$- \frac{ln(\vert g - K \cdot v \vert)}{k} + c_{1} = t + c_{2} \Leftrightarrow v = \frac{g - \frac{1}{a} e^{- k t }}{k}$ mit $a \in \mathbb{R}$



Ich kann die ganzen Zwischenschritte aus zeitlichen Gründen nicht abtippen, aber das Ergebnis passt. Habe das nachgeprüft!



Hättest du ein Tipp für mich bei der b)?


Ich meinte, dass die Endgeschwindigkeit konstant sein müsste, aber offenbar liege ich daneben. Sie wird nur annähernd konstant. Warum ist das so?

Heißt das, es würde nicht funktionieren, unser $v$ abzuleiten, Null zu setzen und nach $t$ auflösen?



Lg, Chico



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-11-21 20:51


Hallo

Bei a hast du unterschiedliche ks, dass müsstest du noch korrigieren. Außerdem hast du die Anfangsbedingung noch nicht eingesetzt.


Die Geschwindigkeit erreicht kein Extremum, ableiten und Nullsetzen liefert kein Ergebnis.
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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-11-21 20:54

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

bei der Lösung der Dgl hast du IMO einen Fehler gemacht: die Gleichung

\[ln|x|=t\]
besitzt die beiden Lösungen

\[x=\pm e^t\]
Das hast du übersehen und dann gerade das falsche Vorzeichen erwischt. Die Folge ist, dass deine Lösung ein beschränktes Wachstum beschreibt anstatt einer beschränkten Abnahme, wie es hier sein sollte.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-11-21 21:03


Hallo Diophant

Folgende Überlegung:

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Gruß Caban



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-11-21 21:12


@Caban:
Du hast recht. Ich habe oben das mit der Integrationskonstante nicht verstanden (warum heißt die dort 1/a?).

Hauptsache, es kommt eine beschränkte Abnahme heraus. :-)


Gruß, Diophant



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-11-21 21:32


Hallo

Ich glaube, diese Integrationskonstante kommt vom Themenstarter selbst.
Aber sie funktioniert, obwohl sie etwas unüblich ist.

Gruß Caban



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 23:12


Hallo nochmal. Ich bitte um Entschuldigung, wenn ich für etwas Verwirrung gesorgt habe.

Wir haben:


$\int \frac{1}{g - K \cdot v} dv = - \frac{ln(\vert g - K \cdot v \vert)}{K} + c_{1}$ und $\int  1 dt = t + c_{2}$.


Die folgende Gleichung forme ich wie folgt um:


$- \frac{ln(\vert g - K \cdot v \vert)}{K} + c_{1} = t + c_{2}\; \quad \vert - c_{1}$

$\Leftrightarrow - \frac{ln(\vert g - K \cdot v \vert)}{K} = t + \underbrace{c_{2} - c_{1} }_{=: c}= t + c\; \quad \vert \cdot - K$

$\Leftrightarrow ln(\vert g - K \cdot v \vert) = K \cdot (- t  - c) = - Kt - Kc\; \quad \vert e^{\ldots}$

$\Leftrightarrow  \vert g - K \cdot v \vert = e^{- Kt - Kc} = e^{- Kt} \cdot \frac{1}{e^{Kc}} \overset{\text{(*)}}{\underset{\text{}}{=}} e^{- Kt} \cdot \frac{1}{b} $ (mit $b \in \mathbb{R}_{> 0}$)


Nun gilt:


$g - K \cdot v = \begin{cases}
- \frac{e^{- Kt}}{b}, g - K \cdot v < 0  \\
\frac{e^{- Kt}}{b}, g - K \cdot v \ge 0 \\

\end{cases}$


Wir können das auch schreiben als $g - K \cdot v = \frac{e^{- Kt}}{a}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

Wir erhalten dann:

$g - K \cdot v = \frac{e^{- Kt}}{a} \Leftrightarrow g - \frac{e^{- Kt}}{a} = K \cdot v  \Leftrightarrow v = \frac{g - \frac{e^{- Kt}}{a}}{K} $


Zu (*)
_______


Da $e^{Kc}$ alle positiven reellen Zahlen annehmen kann, definieren wir $b :=  e^{Kc}$ und es gilt $b \in \mathbb{R}_{> 0}$




Die AWP ist nun $v(0) = 50 m/s$.



Also habe ich die Gleichung $v(0) = \frac{g - \frac{e^{- K \cdot 0}}{a}}{K} = \frac{g - \frac{1}{a}}{K} = 50 \Leftrightarrow a = \frac{1}{g - 50 K}$



Insgesamt lautet also unsere Geschwindigkeit: $v(t) = \frac{g - \frac{e^{- Kt}}{\frac{1}{g - 50 K}}}{K} = \frac{g - e^{- Kt} \cdot (g - 50 K)}{K} $


Passt das so?



2019-11-21 20:51 - Caban in Beitrag No. 16 schreibt:
Hallo

Bei a hast du unterschiedliche ks, dass müsstest du noch korrigieren. Außerdem hast du die Anfangsbedingung noch nicht eingesetzt.


Die Geschwindigkeit erreicht kein Extremum, ableiten und Nullsetzen liefert kein Ergebnis.
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Wenn ich das mache, da habe ich:


$ 0 = g - K \cdot v \Leftrightarrow v = \frac{g}{K}$.

Dieses Ergebnis kommt mir bekannt vor. Das ist genau das $v$ für das $\int \frac{1}{g - K \cdot v} dv$ nicht lösbar ist.


Aber welche Intuition steckt dahinter, dass ich $a$ Null setze und nach $v$ umstelle und wie kann ich das Ergebnis $v = \frac{g}{K}$ interpretieren?


lg, Chico



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-11-21 23:32


Hallo

Ich finde es nicht so gut, wenn du die Anfangsgeschwindigkeit ohne Einheiten einsetzt. Entweder du lässt die Einheiten dabei oder du lässt v_o allgemein stehen. Der Ansatz für die b beruht darauf, dass sich die Kräfte nach einer gewissen Zeit ausgleichen, das bedeudet, dass die Beschleunigung 0 ist.

Gruß Caban




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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2019-11-22 08:54


Hallo,

dann auch noch mein Senf dazu:

Es ist ja gut, wenn Du beim Lösen der DGL bzw. des Integrals selber kreativ bist, aber Du hättest alle Probleme vermieden, wenn Du das bestimmte Integral ausgerechnet hättest, so wie es in Beitrag No.14 steht.
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Interessiert man sich lediglich für die (asymptotische) Endgeschwindigkeit, muß man die DGL nicht explizit lösen, sondern man macht die plausible Annahme, daß irgendwann mal die Gravitationskraft durch die gegebene Reibkraft gerade kompensiert wird. Aus diesem Kräftegleichgewicht folgt dann die kleinste Geschwindigkeit, die der Fallschirmspringer erreichen könnte.

Der physikalisch interessante Teil ist in b) doch die Frage, was mit dem Fallschirmspringer passiert, :-). Hast Du die Grenzgeschwindigkeit mal numerisch ausgerechnet? Mach das mal, und melde Dich danach wieder.

Vielleicht noch ein Hinweis:
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:-)

Gruß
Juergen



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 19:54


Hallo, Leute! smile


Danke für die ausführlichen Antworten! Kam heute leider nicht dazu, weiter an dieser Aufgabe zu machen, da ich noch Mathe machen musste.

Ich lese mir eure Antworten heute Abend nochmal richtig durch und melde mich dann wieder, wenn ich Fragen habe. smile


lg, Chico



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23 18:01


So, komme nun wieder zu einer Antwort.

2019-11-21 23:32 - Caban in Beitrag No. 22 schreibt:
Hallo

Ich finde es nicht so gut, wenn du die Anfangsgeschwindigkeit ohne Einheiten einsetzt. Entweder du lässt die Einheiten dabei oder du lässt v_o allgemein stehen.





Oh, vielen Dank für den Hinweis. Muss mir das schnell angewöhnen mit den Einheiten.


2019-11-22 08:54 - Spock in Beitrag No. 23 schreibt:
Hallo,

dann auch noch mein Senf dazu:

Es ist ja gut, wenn Du beim Lösen der DGL bzw. des Integrals selber kreativ bist, aber Du hättest alle Probleme vermieden, wenn Du das bestimmte Integral ausgerechnet hättest, so wie es in Beitrag No.14 steht.
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Interessiert man sich lediglich für die (asymptotische) Endgeschwindigkeit, muß man die DGL nicht explizit lösen, sondern man macht die plausible Annahme, daß irgendwann mal die Gravitationskraft durch die gegebene Reibkraft gerade kompensiert wird. Aus diesem Kräftegleichgewicht folgt dann die kleinste Geschwindigkeit, die der Fallschirmspringer erreichen könnte.

Der physikalisch interessante Teil ist in b) doch die Frage, was mit dem Fallschirmspringer passiert, :-). Hast Du die Grenzgeschwindigkeit mal numerisch ausgerechnet? Mach das mal, und melde Dich danach wieder.

Vielleicht noch ein Hinweis:
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smile

Gruß
Juergen


Ja, du hast Recht. Habe mir etwas mehr Arbeit gemacht, als notwendig gewesen wäre!


Ich habe die asymptotische Geschwindigkeit durch den Grenzüberganz $t \rightarrow \infty$ bestimmt.


Ich erhalte dann: $\lim\limits_{t \rightarrow \infty} v(t) = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{g}{K} + (v_{0} - \frac{g}{K})e^{- Kt} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{g}{K} +  \frac{v_{0} - \frac{g}{K}}{ e^{ Kt}} = \frac{g}{K}$

Also wäre die asymptotische Endgeschwindigkeit $V_{End} = \frac{g}{K}$





2019-11-22 08:54 - Spock in Beitrag No. 23 schreibt:


Interessiert man sich lediglich für die (asymptotische) Endgeschwindigkeit, muß man die DGL nicht explizit lösen, sondern man macht die plausible Annahme, daß irgendwann mal die Gravitationskraft durch die gegebene Reibkraft gerade kompensiert wird. Aus diesem Kräftegleichgewicht folgt dann die kleinste Geschwindigkeit, die der Fallschirmspringer erreichen könnte.





Hierzu habe ich eine Frage, die vielleicht etwas doof ist.


Wenn die Gravitationskraft irgendwann mal durch die Reibkraft kompensiert wird, dann wirken doch keine Kräfte mehr auf den Fallschirmspringer? Demzufolge müsste der Fallschirmspringer sich nicht bewegen.

Ich weiß, das macht absolut keinen Sinn. Bin in diesem Thema noch nicht richtig warm. Wo liegt mein Denkfehler?


Und nun zur Frage, was mit dem Fallschirmspringer passiert:

Ich habe die Geschwindigkeit noch nicht numerisch ausgerechnet (wüsste auch nicht wie), aber kommt es nicht darauf an, wie hoch die Endgeschwindigkeit ist?

Wenn sie hoch ist, wird er sich wahrscheinlich was brechen oder ums Leben kommen.  Oder etwa nicht?


Bei der Stokes - Reibkraft bin ich gerade noch! Also bin dabei  zu verstehen, was diese genau ist! Kann also mehr dazu erst später sagen biggrin




lg, Chico



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2019-11-23 19:07


Hallo

Den Term für die Endgeschwindigkeit ist richtig, du musst jetzt das K berechnen und v_end. Wenn sich ein Körper gleichförmig bewegt, dann ist die Summe der reslutierenden Kräfte auch 0. Stillstand ist nicht nötig.

Gruß Caban



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24 00:58


2019-11-23 19:07 - Caban in Beitrag No. 26 schreibt:
Hallo

Wenn sich ein Körper gleichförmig bewegt, dann ist die Summe der reslutierenden Kräfte auch 0. Stillstand ist nicht nötig.

Gruß Caban


Ah stimmt, klar. Lästiger Denkfehler. Danke.


2019-11-23 19:07 - Caban in Beitrag No. 26 schreibt:
Hallo

Den Term für die Endgeschwindigkeit ist richtig, du musst jetzt das K berechnen und v_end.

Gruß Caban

Genau und wir haben dann $V_{End} = \frac{g}{K} = \frac{9,81 ms^{-2}}{\frac{6 \pi \eta r}{m}} = \frac{9,81 ms^{-2}}{}{\frac{6 \pi \cdot 17.1 \cdot 10^{-5} Nsm^{-2} \cdot 5 m}{80 Kg}} = 48695,8282 ms^{-1}$.


Das wären dann genau $175304, 9815$ Km/h. Sieht absurd aus, aber ich denke, mich nicht verrechnet zu haben.

Naja, der Fallschirmspringer geht mit dieser Geschwindigkeit natürlich drauf.



Bei der c) müsste ich nicht noch einmal eine DGL lösen, oder?


lg, Chico




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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2019-11-24 08:18


Hallo!

2019-11-24 00:58 - chicolino in Beitrag No. 27 schreibt:
...
Bei der c) müsste ich nicht noch einmal eine DGL lösen, oder?
...

Nein, mußt Du nicht (das Kräftegleichgewicht genügt), aber solltest Du, als Übung für Dich, smile

Mein Hinweis mit der dynamischen Viskosität: Der Zahlenwert für Luft in der Aufgabenstellung ist nicht richtig, er ist um eine Größenordnung zu hoch, was die Sache für den Fallschirmspringer noch schlimmer macht, würde man den Ansatz mit der Stokes Reibung ernst nehmen.

Die Reibkraft nach Newton (proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit) in Teilaufgabe c) ist hier sinnvoll, allerdings weiß ich nicht, woher der Aufgabensteller den cw-Wert und die wirksame Fläche A hat, meine Erfahrung: cw=0.9, A=60 [m^2]. Rechne damit, und Du kommst zu halbwegs vernünftigen Sinkgeschwindigkeiten, smile

Gruß
Juergen




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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24 20:47


Hallo smile

2019-11-24 08:18 - Spock in Beitrag No. 28 schreibt:
Hallo!



Nein, mußt Du nicht (das Kräftegleichgewicht genügt), aber solltest Du, als Übung für Dich, smile

Mein Hinweis mit der dynamischen Viskosität: Der Zahlenwert für Luft in der Aufgabenstellung ist nicht richtig, er ist um eine Größenordnung zu hoch, was die Sache für den Fallschirmspringer noch schlimmer macht, würde man den Ansatz mit der Stokes Reibung ernst nehmen.

Die Reibkraft nach Newton (proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit) in Teilaufgabe c) ist hier sinnvoll, allerdings weiß ich nicht, woher der Aufgabensteller den cw-Wert und die wirksame Fläche A hat, meine Erfahrung: cw=0.9, A=60 [m^2]. Rechne damit, und Du kommst zu halbwegs vernünftigen Sinkgeschwindigkeiten, smile

Gruß
Juergen





Wie genau kann man die c) mit dem Kräftegleichgewicht lösen?

Weil die DGL zu lösen wäre etwas komplizierter, da wir ja $v^{2}$ haben und damit hätten wir eine nicht- lineare DGL... In der VL haben wir noch nicht besprochen, wie man solche DGL löst eek



Und dass der Zahlenwert für Luft zu hoch ist, klingt plausibel. Aber damit kann ich mich erst nach den Aufgaben beschäftigen, weil die Zeit davon rennt biggrin





2019-11-24 08:18 - Spock in Beitrag No. 28 schreibt:
Hallo!


Die Reibkraft nach Newton (proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit) in Teilaufgabe c) ist hier sinnvoll, allerdings weiß ich nicht, woher der Aufgabensteller den cw-Wert und die wirksame Fläche A hat, meine Erfahrung: cw=0.9, A=60 [m^2]. Rechne damit, und Du kommst zu halbwegs vernünftigen Sinkgeschwindigkeiten, smile

Gruß
Juergen




Du meinst, dass die Sinkgeschwindigkeit bei der c) immer noch zu hoch wäre, wenn man die Angaben aus der Aufgabe verwendet? Ich kann  den Prof oder Tutor ja mal fragen, woher die Angaben stammen könnten!



lg, Chico



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2019-11-24 21:13


Hallo

Um v auszurechnen, setzt du wieder m*g mit der Reibungskraft gleich, wie bei b. Wenn du die Gleichung lösen willst, kannst du das wieder mit Trennung der Variablen machen.

Gruß Caban



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