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Funktionentheorie » Integration » Kurvenintegral eines ebenen Vektorfeldes im Komplexen berechnen
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Universität/Hochschule Kurvenintegral eines ebenen Vektorfeldes im Komplexen berechnen
Jocobes
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-20 14:49


Liebe Leute,

Ich hab mal eine Verständnisfrage. Angenommen ich habe folgendes ebenes Vektorfeld gegeben
fed-Code einblenden
Ich soll das Kurvenintegral auf geradem Weg von fed-Code einblenden nach fed-Code einblenden
bestimmen. Ich kann das im reellen ganz gemütlich durchrechnen und komme auf -39. Wenn ich nun dem Vektorfeld eine komplexe Feldfunktion
fed-Code einblenden
zuordne könnte ich ja sowohl über das kompelxe Kurvenintegral als auch über das komplexe Potential auf das selbe Ergebnis wie oben (also -39) kommen, wenn ich dann nur mehr die Realteile der Resultate betrachte. Was mir allerdings nicht klar ist, ist wie ich meine Parametrisierung für das Kurvenintegral bzw. meine Grenzen für das Potential ins komplexe übertrage. Kann mir jemand eventuell einen Denkanstoß geben?

Danke im Voraus!
Jocobes



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-21 13:55


Hallo,

du hast
\[f(z)=f(x+y\,\mathrm i)=3x^2-3y^2-2x+(-6xy+2y)\,\mathrm i=3(x^2-2xy\,\mathrm i+y^2)+2(-x+y\,\mathrm i)=3z^2-2\overline{z}.\]
Kannst du damit etwas anfangen?



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Jocobes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 15:57


Danke für deine Antwort! Ich glaube bei der Zuordnung zur komplexen Feldfunktion ist der Imaginärteil negativ, aber das liefert quasi das gleich Ergebnis, nur dass das z nicht konjugiert ist. Aber soweit war ich schon. Also ich kann auch jetzt das komplexe Potential berechnen, also einfach die Funktion über z integrieren, nur wie ich jetzt meine reellen Grenzen ins komplexe transformier ist mir leider nicht ganz klar. :/



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-21 16:09


Hm, ok, kannst du es mit den Grenzen nicht genauso wie beim Integral machen, also die erste Komponente wird dein Realteil und die zweite Komponente das negative vom Imaginärteil.
\[\int_{1-\mathrm i}^{2-3\mathrm i}\ldots\,\mathrm dz\]



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Jocobes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 16:15


Hab grad probiert wenn ich fed-Code einblenden
verwende komm ich auf das korrekte Ergebnis. Das ist soweit schon mal zufrieden stellend. Ich würde allerdings das Kurvenintegral auch noch ohne Potential lösen und da weiß ich nicht ganz wie ich das im komplexen parametrisiere.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-21 19:20


Hm, du hast doch gerade nachgerechnet, dass es wegunabhängig ist, also nimm irgendeine Kurve, z.B. $[0,1]\to \mathbb{C},\,t\mapsto(1-t)(1+i)+t(2+3i)$



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Jocobes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 19:28


Uh stimmt! Aber die Frage ist mehr generell, hab da eine blödes Beispiel gewählt. Also angenommen mein Feld wär nicht wegunabhängig wie transformier ich meine Parametrisierung?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-21 20:04


Dann musst du parametrisieren. Es kommt eben auf deinen Weg an, wenn es nicht wegunabhängig ist.



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