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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Isomorphismus zeigen
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Universität/Hochschule Isomorphismus zeigen
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-20


Abend zusammen

Ich versuche gerade folgenden Isomorphismus zu zeigen: \(\frac{\mathbb{Z}[i]}{(p)}\cong\frac{F_p[t]}{(t^2+1)}\). Dabei ist \(p\) eine Primzahl mit der Eigenschaft \(p\equiv1\:mod\:4\). Ich kenne aber nun folgenden Isomorphismus \(\frac{\mathbb{Z}[t]}{(t^2+1)}\cong\mathbb{Z}[i]\), welcher schon bewiesen ist. Meine Idee ist nun die folgende:
Ich definiere einfach folgende Abbildung: \(\phi:\mathbb{Z}_p[t]\to\mathbb{Z}_p[i]\), \(f(t)\mapsto f(i)\). Ähnlich wie in der Abbildung \(\psi:\mathbb{Z}[t]\to\mathbb{Z}[i]\),\(f(t)\mapsto f(i)\), sollte doch meine Abbildung \(\phi\) auch ein surjektiver Ringhomomorphismus sein. Konnte dies ja für \(\psi\) erfolgreich zeigen können... Dann kann ich doch auch wie in \(\psi\) zeigen, dass der Kern von  \(\phi\) gleich \((t^2+1)\) ist und somit mit der universellen Eigenschaft folgt doch, dass \(\frac{\mathbb{Z}[i]}{(p)}\cong\frac{F_p[t]}{(t^2+1)}\). Nun ist die Frage ob meine Grundidee stimmt und ob \(\frac{\mathbb{Z}[i]}{(p)}=\mathbb{Z}_p[i]\) ist.

Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
Gruss,
Math_user



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-20


Man braucht hier zwei Standard-Isomorphismen:

1) Für Ringe $R$ und Ideale $I \subseteq R$ ist $R[T] / \langle I \rangle \cong (R/I)[T]$. Dabei ist $\langle I \rangle$ das von $I$ in $R[T]$ erzeugte Ideal (was sich auch explizit als $I[T]$ beschreiben lässt).

Beweisskizze: Das folgt daraus, dass man einen surjektiven Homomorphismus $R[T] \to (R/I)[T]$ mit Kern $I[T]$ hat.
 
2) Seien $I,J$ Ideale eines Ringes $R$. Sei $\overline{J}$ das Bild von $J$ unter der Projektion $R \to R/I$, das ist also ein Ideal von $R/I$. Es gilt dann:

$(R/I)/\overline{J} \cong R/(I+J).$

Beweissizze: Das folgt einfach daraus, dass man einen surjektiven Ringhom. $R/I \to R/(I+J)$ mit Kern $\overline{J}$ hat.

Wegen $I+J=J+I$ folgt daraus:

$(R/I) / \overline{J} \cong (R/J)/\overline{I}.$



In unserem Fall erhalten wir damit:

$\begin{align*}
\IZ[i] / \langle p \rangle & \cong (\IZ[T]/\langle T^2+1 \rangle) / \langle p \rangle \\

 & \cong (\IZ[T]/\langle p \rangle) / \langle T^2+1 \rangle \\
& \cong (\IZ / \langle p \rangle)[T] / \langle T^2+1 \rangle \\
& = \IF_p[T] / \langle T^2+1 \rangle.
\end{align*}$
 
Die Schreibweise $\IF_p[i]$ ist hier allerdings mit Vorsicht zu genießen. Denn üblicherweise meint man damit eine Körpererweiterung von $\IF_p$. Aber weil $p \equiv 1 \bmod 4$ gilt, zerfällt $T^2+1$ in zwei Linearfaktoren über $\IF_p$, die im Falle $p \neq 2$ auch unterschiedlich sind, und dann ist nach dem chinesischen Restsatz

$\IF_p[T] / \langle T^2+1 \rangle \cong \IF_p \times \IF_p.$



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