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Lineare Algebra » Eigenwerte » A nilpotent → 1 - A invertierbar
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Kein bestimmter Bereich A nilpotent → 1 - A invertierbar
niklasm
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-21 04:39


Hallo,

die Aussage des Titels ist zu beweisen.
Meine Idee wäre es, auf geschickte Weise ein Produkt zu bilden, das (1-A) als Faktor beinhaltet, z.B. durch Potenzieren sodass das Produkt = 1 + 0 ist, wobei die 0 irgendwie durch A^N, also wegen der Nilpotenz entsteht. (1-A) ist ausklammerbar und dann stünde das Inverse sozusagen direkt daneben.

Ich habe ein paar solcher Anläufe probiert, die bspw. ähnlich wie binomische Formeln aussahen, kam aber bisher auf nichts richtiges.

Ist meine Grundidee falsch? Vllt. habt ihr Tipps für mich.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-21 05:49


Hallo,

wie hast du es denn probiert?

Es ist $(1+A)(1-A) = 1-A^2$, dann $(1+A^2)(1-A^2) = 1-A^4$, etc.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-21 06:18


Hallo.

Tipp: geometrische Summenformel

Gruss endy



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Dean Koontz : Zwielicht

Unzählige verschlungene Nachtpfade zweigen vom Zwielicht ab.
Etwas bewegt sich inmitten der Nacht,das nicht gut und nicht richtig ist.

The Book of Counted Sorrows.




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niklasm
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 10:05


Oh wow, ja, okay.. dann ist das Ganze ja ein Einzeiler. Ich hatte erst etwas mit Variationen der 3. binomischen gearbeitet.

Vielen Dank!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 400
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-21 14:30


Nunja, aus der geometrischen Summenformel folgt eine Variante der 3. binomischen Formel. Und ebenso ist mein Vorschlag bloß die binomische Formel.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-21 14:47


Wo wir schon bei alternativen Beweisen sind:

1) Wenn $A$ nilpotent ist, ist $A$ ähnlich zu einer strikt oberen Dreiecksmatrix. Dann ist $1-A$ eine obere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen, ist also invertierbar, ja es gilt sogar $\det(1-A)=1$.

2) Es reicht dies für Elemente $A$ in kommutativen Ringen zu zeigen. Wenn $1 - A$ nicht invertierbar ist, gibt es ein Primideal $\mathfrak{p}$ mit $1 - A \in \mathfrak{p}$. Weil $A$ nilpotent ist, gilt $A \in \mathfrak{p}$. Es folgt $1 \in \mathfrak{p}$, Widerspruch.



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