Die Mathe-Redaktion - 08.12.2019 17:40 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 598 Gäste und 15 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Rotation, Pauli-Matrizen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Rotation, Pauli-Matrizen
seim
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.03.2017
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-21 18:14


Ich habe eine Frage bezüglich der Wikrung des Rotationsoperators auf die Pauli Matrizen.
Wir haben in einem Übungsbeispiel die Relationen verwendet:
\(R(\phi, \vec{n}) \sigma_i R^\dagger(\phi, \vec{n})=\sigma_j\)
\(R(\phi, \vec{n})\sigma_j R^\dagger(\phi, \vec{n})=-\sigma_i\)
Ich weiß, aber absolut nicht wieso, das der Fall sein soll.
Meiner Meinung nach sind die Pauli-Matrizen Invariant unter dieser Rotation. Wenn ich stur \(R(\phi, \vec{n})\cdot \vec{m}\cdot\vec{\sigma} R^\dagger(\phi, \vec{n})\), mit \(R(\phi, \vec{n})=cos(\phi/2)-i \sin(\phi/2) \vec{\sigma}\cdot\vec{n}\) rechne komme ich auf: \(R(\phi, \vec{n}) \vec{m}\cdot\vec{\sigma} R^\dagger(\phi, \vec{n})=\vec{m}\cdot \vec{\sigma}\).
Kann mir vielleicht jemand sagen, was ich falsch verstanden habe?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 794
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-21 18:32


2019-11-21 18:14 - seim im Themenstart schreibt:
Wir haben in einem Übungsbeispiel die Relationen verwendet:
\(R(\phi, \vec{n}) \sigma_i R^\dagger(\phi, \vec{n})=\sigma_j\)
\(R(\phi, \vec{n})\sigma_j R^\dagger(\phi, \vec{n})=-\sigma_i\)

Das kann für beliebige $\phi$ ganz sicher nicht stimmen. Du muss ja nur $\phi=0$ betrachten.

2019-11-21 18:14 - seim im Themenstart schreibt:
Wenn ich stur \(R(\phi, \vec{n})\cdot \vec{m}\cdot\vec{\sigma} R^\dagger(\phi, \vec{n})\), mit \(R(\phi, \vec{n})=cos(\phi/2)-i \sin(\phi/2) \vec{\sigma}\cdot\vec{n}\) rechne komme ich auf: \(R(\phi, \vec{n}) \vec{m}\cdot\vec{\sigma} R^\dagger(\phi, \vec{n})=\vec{m}\cdot \vec{\sigma}\).

Das kann genauso wenig für beliebige $\phi$, $\vec n$ und $\vec m$ stimmen. Schreib doch mal deine Rechnung auf.

--zippy



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
seim
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.03.2017
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 19:01


\[cos(\phi/2)-i sin(\phi/2)( \vec{n} \cdot\vec{\sigma}) (\vec{m}\cdot\vec{\sigma}) cos(\phi/2)+i sin(\phi/2) (\vec{n} \cdot\vec{\sigma}))=(cos(\phi /2) \vec{m} \vec{\sigma} - i sin(\phi/2) (\vec{n}\cdot \vec{\sigma}) (\vec{m}\cdot \vec{\sigma}))(cos(\phi/2)+i sin(\phi/2)(\vec{n}\cdot \vec{\sigma}))=cos^2(\phi/2)(\vec{m}\cdot\vec{\sigma})-i sin(\phi/2)cos(\phi/2)(\vec{n}\cdot\vec{\sigma})(\vec{m}\cdot\vec{\sigma})+i sin(\phi/2)cos(\phi/2)(\vec{n}\cdot \vec{\sigma})(\vec{m}\cdot\vec{\sigma})+sin^2(\phi/2) (\vec{m}\cdot\vec{\sigma})=\vec{m}\cdot\vec{\sigma}\]




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 794
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-21 19:18


Du hast so gerechnet, als ob $(\vec n\cdot\vec\sigma)(\vec m\cdot\vec\sigma)=(\vec m\cdot\vec\sigma)(\vec n\cdot\vec\sigma)$ wäre. Das ist aber für $\vec m\ne\vec n$ nicht der Fall.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
seim
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.03.2017
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 21:41


Stimmt leider...
Also wenn ich es jetzt mit \((\vec{m}\cdot \vec{\sigma})(\vec{n}\cdot \vec{\sigma})=(\vec{m}\cdot\vec{n})+i\vec{\sigma}(\vec{m} \times \vec{n}) \)rechne, komme ich auf das Ergebnis: \(cos^2(\phi/2)(\vec{m}\cdot\vec{\sigma})+sin^2(\phi/2)(\vec{n}\cdot\vec{m})(\vec{n}\cdot\vec{\sigma})-2\vec{\sigma}(\vec{m}\times\vec{n})sin(\phi/2)cos(\phi/2)\)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
seim
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.03.2017
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 21:46


Vieleicht kann man mir eher helfen zu verstehen, weshalb wir die Relation aus der Übung angenommen haben, wenn ich schreibe in welchem Kontext das Aufgetreten ist. Wir wollten zeigen, dass der Korrelationstensor eines rotationsinvarianten Zustandes antisymmetrisch ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
seim
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.03.2017
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 21:51


Kann es sein, dass es ausreicht, um generel \(T_{ij}=-T_{ji}\) zu beweisen einen Rotationsoperator zu wählen, für den gilt:
\(R(\phi, \vec{n}) \sigma_i R^\dagger(\phi, \vec{n})=\sigma_j\)
\(R(\phi, \vec{n})\sigma_j R^\dagger(\phi, \vec{n})=-\sigma_i\)
und mit diesem \(T_{ij}=-T_{ji}\) zu zeigen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 794
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-21 22:21


2019-11-21 21:51 - seim in Beitrag No. 6 schreibt:
Kann es sein, dass es ausreicht, um generel \(T_{ij}=-T_{ji}\) zu beweisen einen Rotationsoperator zu wählen, für den gilt:
\(R(\phi, \vec{n}) \sigma_i R^\dagger(\phi, \vec{n})=\sigma_j\)
\(R(\phi, \vec{n})\sigma_j R^\dagger(\phi, \vec{n})=-\sigma_i\)
und mit diesem \(T_{ij}=-T_{ji}\) zu zeigen?

Ja. (Ich vermute mal, dass du von einem 2-Teilchen-Zustand $|\psi\rangle$ sprichst und dass$$
T_{ij}=\langle\psi|\sigma_i\otimes\sigma_j|\psi\rangle
$$ist.) Der Rotationsoperator $R$ zu einer Drehung in der $(i,j)$-Ebene um $\pi/2$ erfüllt die gewünschten Relationen, und da $R^\dagger=R^{-1}$ auch ein Rotationsoperator ist und somit $R^\dagger|\psi\rangle=|\psi\rangle$ und $\langle\psi|R=\langle\psi|$ gilt, folgt$$T_{ij}=
\langle\psi|\sigma_i\otimes\sigma_j|\psi\rangle=
\langle\psi|R(\sigma_i\otimes\sigma_j)R^\dagger|\psi\rangle=
-\langle\psi|\sigma_j\otimes\sigma_i)R^\dagger|\psi\rangle=
-T_{ji}\;.$$



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
seim
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.03.2017
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 22:36


Was ich eigentlich nicht verstehe ist, weshalb es ausreicht das nur für einen spezifischen Rotationsoperator zu zeigen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 794
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-21 22:42


2019-11-21 22:36 - seim in Beitrag No. 8 schreibt:
Was ich eigentlich nicht verstehe ist, weshalb es ausreicht das nur für einen spezifischen Rotationsoperator zu zeigen.

Die Rotationsinvarianz des Zustands ist eine stärkere Bedingung als die Antisymmetrie der Korrelationsfunktion. Daher muss man zum Nachweis der Antisymmetrie bzgl. $i$ und $j$ nicht sämtliche Drehungen betrachten – sondern nur eine einzige.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
seim
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.03.2017
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 22:49


Tut mir voll leid, dass ich so nerve, aber ich hab das nicht ganz verstanden. Kannst dus vielleicht bisschen näher erläutern?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 794
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-21 23:06


2019-11-21 22:49 - seim in Beitrag No. 10 schreibt:
Kannst dus vielleicht bisschen näher erläutern?

Wenn $B$ (hier: Antisymmetrie von $T$ bzgl. $i$ und $j$ mit $i\ne j$) aus $A$ (hier: Invarianz unter allen Drehungen), aber nicht $A$ aus $B$ folgt, kann man generell nicht erwarten, dass man sämtliche Eigenschaften von $A$ benötigt, um $B$ zu zeigen. Und hier benötigt man eben statt der Invarianz unter allen Drehungen nur die gegen eine speziell gewählte.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
seim
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.03.2017
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 23:25


Dankeschön!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
seim hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]