| Autor |
  finde die 2. Ableitung nicht |
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e-ferrari
Junior 
Dabei seit: 19.07.2015
Mitteilungen: 7
 |      Themenstart: 2019-11-21 23:36
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Hallo,
ich nehme Bezug auf das Buch "Brückenkurs Mathematik für Studieneinsteiger aller Disziplinen", Beispiel 6.26:
  
f(x)=x/(x^2+1) Die erste Ableitung finde ich und die entspricht auch dem Buch. f´(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2 Auf die 2. Ableitung komme ich nicht: Lt. Buch: f´´(x)=(2x(x^2-3))/((x^2+1)^3) Mein Weg: Da muss ich doch nach der Quotientenregel vorgehen, oder ? (-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)(4x^3+4x))/(x^2+1)^4 =(-2x(x^2+1)^2-(4x^3+4x-4x^5-4x^3))/((x^2+1)^4)= (-2x(x^2+1)^2-4x+4x^5)/((x^2+1)^2)= (-2x(x^4+2x^2+1)-4x+4x^5)/((x^2+1)^4)= (-2x^5-4x^3-2x-4x+4x^5)/((x^2+1)^2)= (2x^5-4x^3-6x)/((x^2+1)^4) =(2x(x^4-2x^2-3))/(2x*4(x^2+1)^3 =(x^4-2x^2-3)/4(x^2+1)^3 Und da verließen sie ihn. Wo ist der Fehler ? Btw: es dauert ja ewig solche Gleichungen hier einzugeben. Geht das mit Latex schneller ? Ist das schwierig zu erlernen ? Danke. Bernd
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4144
Aus: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-21 23:41
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Wie kommst du denn auf das vorletzte Gleichheitszeichen?
Was du im Zähler machst, sieht gut aus, aber das Vorgehen im Nenner ist eher schleierhaft.
PS: Mit LaTeX geht es bei solchen Brüchen nicht wesentlich schneller (sieht halt nur besser aus). Aber man gewöhnt sich mit der Zeit daran und kann es schneller eingeben.
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 665
Aus: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-21 23:46
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Hallo
Überprüfe den vorletzten Schritt, da taucht ein 2x im Nenner auf, wo es aber nicht hingehört.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Dixon
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Dabei seit: 07.10.2006
Mitteilungen: 5555
Aus: wir können alles, außer Flughafen, S-Bahn und Hauptbahnhof
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-22 00:35
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Leicht abweichend vom Thema:
Wenn Du ernsthaft was in der Physik oder Mathematik machen willst, dann kömmst Du um LaTex nicht herum. Du kannst hier gerne schon mal mit dem Üben anfangen 
Grüße
Dixon
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Wissen ist Nacht! (Grundsatz der Eydeetischen Philophysik)
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JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 550
Aus: Oberpfalz
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-22 03:02
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Hallo e-ferrari,
Deine 2. Ableitung ist bis kurz vor Schluss richtig; dann gilt :
viele Grüße
JoeM
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Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 429
 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-22 09:02
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2019-11-21 23:41 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Wie kommst du denn auf das vorletzte Gleichheitszeichen?.
Sieht so aus als ob in dem Schritt abgeleitet worden ist.
-----------------
Smile (:
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e-ferrari
Junior
Dabei seit: 19.07.2015
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 14:46
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2019-11-22 03:02 - JoeM in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo e-ferrari,
Deine 2. Ableitung ist bis kurz vor Schluss richtig; dann gilt :
viele Grüße
JoeM
Hi,
ja, irgendwann wollte ich dann den Nenner noch mal ableiten :-))
Sowas soll man auch um 23:30 nicht mehr posten.
Danke für Deine Lösung.
Noch eine Frage:
Wie kommt man auf
x^4-2x^2-3=x^4-3x^2+x^2-3=(x^2+1)(x^2-3) ?
Gibt's da irgendeinen Trick oder Ansatz ?
Da wäre ich nie drauf gekommen.
Danke.
Bernd
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1461
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-22 15:14
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Huhu Bernd,
2019-11-22 14:46 - e-ferrari in Beitrag No. 6 schreibt:
Noch eine Frage:
Wie kommt man auf
x^4-2x^2-3=x^4-3x^2+x^2-3=(x^2+1)(x^2-3) ?
Gibt's da irgendeinen Trick oder Ansatz ?
entweder mit geschultem Auge (Stichwort: Ausklammern), oder über eine Linearfaktorzerlegung. Mit \(z:=x^2\) ist also die Gleichung \(z^2-2z-3=0\) zu lösen. Das geht mit einem beliebigen Lösungsverfahren (oder wieder mit geschultem Auge; Stichwort: Vieta). Die Lösungen sind \(z_1=-1\) und \(z_2=3\). Wir erhalten also \(z^2-2z-3=(z+1)(z-3)\). Wenn du nun resubstituierst steht es da.
Schönes Wochenende!
Gruß,
Küstenkind
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e-ferrari
Junior
Dabei seit: 19.07.2015
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 16:12
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2019-11-22 15:14 - Kuestenkind in Beitrag No. 7 schreibt:
Huhu Bernd,
2019-11-22 14:46 - e-ferrari in Beitrag No. 6 schreibt:
Noch eine Frage:
Wie kommt man auf
x^4-2x^2-3=x^4-3x^2+x^2-3=(x^2+1)(x^2-3) ?
Gibt's da irgendeinen Trick oder Ansatz ?
entweder mit geschultem Auge (Stichwort: Ausklammern), oder über eine Linearfaktorzerlegung. Mit \(z:=x^2\) ist also die Gleichung \(z^2-2z^2-3=0\) zu lösen. Das geht mit einem beliebigen Lösungsverfahren (oder wieder mit geschultem Auge; Stichwort: Vieta). Die Lösungen sind \(z_1=-1\) und \(z_2=3\). Wir erhalten also \(z^2-2z^2-3=(z+1)(z-3)\). Wenn du nun resubstituierst steht es da.
Schönes Wochenende!
Gruß,
Küstenkind
Danke. Mit der Linearfaktorenzerlegung verstehe ich das.
Wenn ich \(z=x^2\) setze müsste es aber heißen \(z^2-2z-3=0\) ?
Oder ?
Bernd
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1461
| Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-22 16:26
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Huhu Bernd!
Ja, ich wollte nur sehen, ob du auch mitdenkst. Du hast den Test somit erfolgreich bestanden! Ich habe den (Schreib-) Fehler oben editiert. Danke!
Gruß,
Küstenkind
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Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 429
| Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-22 17:01
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Hey,
es fällt etwas leichter, wenn man bereits in den ersten Schritten anders vorgeht. Du hast im ersten Schritt ja den Nenner abgeleitet in dem du $(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ geschrieben hast und das abgeleitet hast. Wenn du aber die Kettenregel nutzt, dann kannst du im zweiten Schritt noch kürzen und bekommst etwas leichtere Terme. Hier die Rechnung wenn man ausnutzt, dass $(x^2+1)^n$ abgeleitet wird zu $n\cdot 2x\cdot (x^2+1)^{n-1}$:
$$
(\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2})' = \frac{-2x (x^2+1)^2 - (1-x^2)2\cdot 2x(x^2+1)}{(x^2+1)^4} = \frac{-2x(x^2+1) - (1-x^2)\cdot 2\cdot 2x}{(x^2+1)^3} = \frac{-2x \cdot (x^2+1 + (1-x^2)\cdot 2) }{(x^2+1)^3} = \frac{-2x \cdot (-x^2+3)}{(x^2+1)^3} =\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$$
Bei Funktionen von dieser Gestalt sollte man auf den Nenner immer die Kettenregelanwenden, um danach zu kürzen.
Beste Grüße
Creasy
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