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Analysis » Folgen und Reihen » Variation der harmonischen Reihe
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Universität/Hochschule Variation der harmonischen Reihe
MalibuRazz
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Dabei seit: 05.04.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-22 10:31



Hallo,

ich soll das Grenzwertverhalten der harmonischen Reihe fed-Code einblenden untersuchen, wenn man alle k ∈ N auslässt, deren Dezimaldarstellung die Ziffer 7 enthält.

Als Tipp wurde uns das gegeben: k nach der Anzahl ihrer Dezimalstellen gruppieren und für eine vorgegebene Anzahl Dezimalstellen überlegen wie viele k es gibt.

Ich habe keine Ahnung wie ich es angehen soll. Habe über eine Excel Tabelle nachgedacht, da ich doch nicht für jedes k testen kann, wie viele Nachkommastellen 1/k hat ?

Ich bin für jede Hilfe dankbar!!



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-22 10:43


Hallo,

die Frage wurde in ähnlicher Form schon häufiger im Forum gestellt. Wenn du danach suchst, findest du bestimmt etwas.

Wie viele $k$-stellige natürliche Zahlen gibt es, die nicht die Ziffer $7$ enthalten?
Nachdem du diese Frage beantwortest hast, beachte, dass diese alle größer/gleich $10^{k-1}$ sind. Wie groß ist dann die Summe der Kehrwerte aller $k$-stellige natürliche Zahlen ohne die Ziffer $7$ höchstens?



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-22 10:45


Servus MalibuRazz!

Mit Dezimalstellen sind die Dezimalstellen von k gemeint, nicht die von 1/k.

Grüße Squire



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 11:32


2019-11-22 10:43 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

die Frage wurde in ähnlicher Form schon häufiger im Forum gestellt. Wenn du danach suchst, findest du bestimmt etwas.

Wie viele $k$-stellige natürliche Zahlen gibt es, die nicht die Ziffer $7$ enthalten?
Nachdem du diese Frage beantwortest hast, beachte, dass diese alle größer/gleich $10^{k-1}$ sind. Wie groß ist dann die Summe der Kehrwerte aller $k$-stellige natürliche Zahlen ohne die Ziffer $7$ höchstens?

Ich habe im Forum bereits gesucht, aber nichts, was meiner Aufgabe ähnlich ist, gefunden :(



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MalibuRazz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.04.2019
Mitteilungen: 47
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 11:33


2019-11-22 10:45 - Squire in Beitrag No. 2 schreibt:
Servus MalibuRazz!

Mit Dezimalstellen sind die Dezimalstellen von k gemeint, nicht die von 1/k.

Grüße Squire

Aber k ist doch aus den natürlichen Zahlen und hat somit keine Nachkommastellen ungleich Null  confused



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ligning
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Mitteilungen: 2844
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-22 11:35


Von Nachkommastellen ist ja auch nicht die Rede, sondern von Dezimalstellen.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-22 11:36


Hallo,

es geht auch nicht um die Nachkommastellen. Summiere alle, die in ihrer Darstellung nirgendwo vor dem Komma eine 7 enthalten:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\ldots\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-22 11:36


Hallo MalibuRazz,

mit deinem Einwand hast du natürlich recht. Squire meinte sicherlich die Dezimalziffern ganzer Zahlen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 11:39


2019-11-22 11:36 - ochen in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo,

es geht auch nicht um die Nachkommastellen. Summiere alle, die in ihrer Darstellung nirgendwo vor dem Komma eine 7 enthalten:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\ldots\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Achsooooo, habe die Aufgabe falsch verstanden *facepalm*. Dankeeee



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Qbe
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Dabei seit: 22.11.2019
Mitteilungen: 1
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-22 22:00


Hier de.wikipedia.org/wiki/Kempner-Reihe steht ja der Beweis für K0. Wenn ich den Beweis jetzt für eine andere Ziffer machen möchte also von 1-9 dann, nehme ich ja immer gleich viele Ziffern aus der Summe heraus. Jetzt steh ich aber bei dem Grenzwert auf dem Schlauch. Bei den verschiedenen Ziffern kommen ja unterschiedliche Werte heraus aber wie rechnet sich z.B 7 da mit ein? Also wie komme ich wenn ich die 7ner streiche auf 22,49347? Ich wäre jedem der uns helfen könnte unendlich dankbar



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ochen
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Mitteilungen: 2538
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-22 22:37


Hallo,
bearbeitest du die gleiche Aufgabe? Du könntest "beliebig" genau nach unten und nach oben abschätzen. Sei $M$ die Menge aller natürlichen Zahlen ohne 7 in der Dezimaldarstellung. So gilt
\[\sum\limits_{n\in M}\frac 1k =
\sum\limits_{\substack{k\in M\\k<10^n}}\frac 1k
+\sum\limits_{\substack{k\in M\\k\geq 10^n}}\frac 1k
\] Schätze nun
\[\sum\limits_{\substack{k\in M\\k\geq 10^n}}\frac 1k=\sum_{\ell\geq n}\sum\limits_{\substack{k\in M\\10^\ell\leq k< 10^{\ell+1}}}\frac 1k
\] nach unten und nach oben ab. Für $n\to\infty$ geht die zweite Summe gegen Null.



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