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Schulmathematik » Folgen und Reihen, Induktion » Geometrische Folge ("Zerfallsprozess") - Streitfrage
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Schule Geometrische Folge ("Zerfallsprozess") - Streitfrage
StadtAffe
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.12.2018
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-23 09:58


Hallo,

ich diskutiere gerne mit meiner Mathematik Professorin, und würde jetzt gern eure Meinung zu folgendem Beispiel haben:

28000 Einwohner leben in einer Stadt, der jährliche Bevölkerungsrückgang beträgt 4%. Nehmen wir an, dieser Rückgang ist konstatn. Nach wie vielen Jahren ist dann mit einem Einwohnerstand von 15000 zu rechnen?

Sie hat das Beispiel bei einer Schularbeit unter dem Titel "geometrische und arithmetische Reihen/Folgen" gegben, daher musste man eine geometrische Folge aufstellen, die die Einwohner nach n Jahren angibt.

Mein Rechenansatz war folgender:
\(n...Jahre\\
e_n...Einwohner\ nach\ n\ Jahren\\
e_0 = 28000,\ da\ nach\ 0\ Jahren\ noch\ keine\ Verminderung\ stattgefunden\ hat.\\
e_n = e_0 * q^n\\
q = 1 - p = 1 - 0.04 = 0.96\\
e_n = 28000 * 0.96^n\\
15000 = 28000* 0.96^n \quad |:28000\\
0.5357 = 0.96^n \quad |\log_{0.96}()\\
n = 15.29\)

Sie hat so gerechnet:
\(e_1 = 28000\\
e_n = e_1 * q^{n-1}\\
q = 1 - p = 1 - 0.04 = 0.96\\
e_n = 28000 * 0.96^{n-1}\\
15000 = 28000* 0.96^{n-1} \quad |:28000\\
0.5357 = 0.96^{n-1} \quad |\log_{0.96}()\\
15.29 = n - 1 \quad |+1\\
n = 16.29\)

Meiner Meinung nach, sind beide Rechnungen eine Antwort auf eine Frage. Meine Berechnung wäre die Antwort auf die Frage: "Nach wie vielen Jahren seit der ersten Zählung (od. Zählung, die 28000 Einwohner ergab) leben noch 15000 Einwohner."

Ihre Berechnung wäre die Antwort auf die Frage "Bei der wievielten Einwohnerzählung leben noch 15000 Einwohner." Nachdem es keine 1/3 Zählungen gibt, müsste man ihr Ergebnis aufrunden, und Fragen, wann weniger als 15000 Einwohner gezählt werden.

Was ist eurer Meinung nach die bessere Antwort auf die Originalfrage. Da dort kein Zeitpunkt angegben ist, auf den man scih beziehen soll, würde ich sagen, geht man davon aus, dass der Zeitpunkt, für den die Ausgangsbedingung geben ist, der Zeitpunkt 0 ist.

Wenn man das ganze mit einer Exponentialfunktion gelöst hätte, wäre es eindeutiger, dass mein Ansatz "richtiger" ist, da man hier immer mit t oder n = 0 beginnt.

Danke schon mal im Voraus.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2312
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-23 10:06

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das ist einfach die alte Geschichte, ob die Null den natürlichen Zahlen zugerechnet wird oder nicht. Wenn man das einmal rein vom fachlichen her anschaut, dann gehört die Aufgabe am ehesten nach Analysis und dort ist es nach meiner Kenntnis schon lange üblich, die Null zu den natürlichen Zahlen zu rechnen.

Somit halte ich deine Variante für die übliche, die andere ist unüblich und unpraktisch, weil erklärungsbedürftig.

Es mag sein, das eine solche Bewertung vom einen oder anderen praktischen Standpunkt aus anders ausfällt, ich habe jetzt rein von der Mathematik her argumentiert.

EDIT: Siehe auch den nächsten Beitrag. Ich hatte bei meiner Argumentation gar nicht beachtet, dass ihr ja beide Dezimalzahlen als Lösungen akzeptiert. Meine obige Argumentation gilt nur,wenn es um die Anzahl an Jahren geht, also eben für natürliche Zahlen \(n\).


Gruß, Diophant



[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Folgen und Reihen, Induktion' von Diophant]
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5324
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-23 11:40


Hallo,

das hat m. E. nichts damit zu tun, ob man 0 als "natürliche Zahl" interpretiert oder nicht. Das kommt in der Aufgabe ja auch nicht vor.

Der Ansatz \(e_n=e_0q^n\) ist hier der einzig sinnvolle. (Wieso hier \(e_n=e_0q^{n-1}\) angesetzt werden sollte, ist mir ein Rätsel.)

Wenn man für n nur ganze Zahlen zulässt, ließe sich die Fragestellung nicht beantworten.

Würde man indes fragen "Nach wie vielen Jahren ist dann erstmals mit einem Einwohnerstand von höchstens 15000 zu rechnen?" müsste das Ergebnis 15,29 zu 16 aufgerundet werden.



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Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 429
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-23 21:39


2019-11-23 11:40 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
Der Ansatz \(e_n=e_0q^n\) ist hier der einzig sinnvolle. (Wieso hier \(e_n=e_0q^{n-1}\) angesetzt werden sollte, ist mir ein Rätsel.)

Es wurde im zweiten Ansatz aber $e_n=e_1q^{n-1}$ angesetzt, wenn man mit $e_1= 28000$ startet (was getan worden ist) geht das auch. Du hast bei der Dozentin nicht mehr dazugeschrieben, was $e_n$ und so ist.  

Die eine Variante startet bei 0, die andere bei 1. Wenn beide jetzt noch diesen tollen Antwortsatz schreiben würden, käme ggf. das gleiche raus, denn da deine Dozentin bei 1 startet, müsste Sie diese dann auch wieder abziehen, wenn es um die Zeitdifferenz geht.




-----------------
Smile (:



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StadtAffe
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.12.2018
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-25 17:38


Danke schon mal für die hilfreichen Argumente  smile

Mitlerweile habe ich mit ihr weiter diskutiert, und jetzt sind wir der Sache zum Teil näher, und zum Teil weiter weg:

Ihre Argumentation ist jetzt folgende:
Da eine Einwohnerzählung eine Messung ist, und man bei allen Messungen literarisch bedingt mit dem Index 1 beginnt, muss man auch hier mit 1 beginnen.

Dagegen habe ich 2 Gegenargumente, auf die sie leider nicht wirklich eingegangen ist:
1. Gegenargument: Die Aufgabenstellung fragt nicht danach, ab der wievielten Einwohnerzählung weniger als 15000 Menschen leben, sondern, ab wie vielen Jahren nu noch 15000 Menschen leben. Sie war sogar einverstanden, dass es stimmt, dass die x-te Einwohnerzähliung nach (x-1) Jahren seit der ersten Zählung stattfindet, jedoch akzeptierte sie meine Antwort trotzdem nicht.
2. Gegenargument (eher eine Analogie): Zeitabhängige Wertsteigerungen/senkungen beginnen immer mit einem Grundwert bei t=0. Als Beispiel wird eine Bakterienkultur mit anfangs 10 Bakterien und einer Wachstumsrate von 100% pro Stunde angenommen. Nach 0h sind es 10 Bakterien, nach 1h sind es 20 Bakterien, usw. Hier stimmte sie mir sogar zu, dass man mit 0 beginnt. Seht ihr einen mathematischen Unterschied zwischen Bakterien und Menschen?

2019-11-23 21:39 - Creasy in Beitrag No. 3 schreibt:
Du hast bei der Dozentin nicht mehr dazugeschrieben, was $e_n$ und so ist.

Das habe ich aus dem Grund nicht gemacht, weil Sie mir auf die Frage, wie sie \(e_n\) und \(n\) "nennen" würde keine klare Antwort geben hat können. Ich werde Sie aber bezüglich dessen noch einmal genauer fragen.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Caban
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Mitteilungen: 658
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-25 21:39


Hallo

ich sehe keinen Unterschied zwischen Bakterien und Menschen. Aber ich denke, die Dozentin war zu sehr auf geometrische Folgen fixiert, dort tritt das -1 ja standardmäßig auf.

Gruß Caban



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mibe201067
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2019
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-03 01:18


ohne die Frage zu zerreden oder vom Thema abzuweichen (Bakterien, Menschen...) ganz schlicht lösen:


t = (ln[28000/15000])/(ln[1-0,04]) = 15,289..., also reichlich 15 Jahre

Beim Stadtaffen im Beitrag Nr. 1 hätte ich als Prüfer daher ein Häkchen gesetzt.
Bei Frau Prof. mit dem Exponenten "n-1" statt n hätte ich nicht die Einsicht, was es mit dem "-1" auf sich hat.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6099
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-03 12:48


Wie in Beitrag #3 angedeutet, sind beide Varianten unvollständig, weil die "Rückübersetzung" des mathematischen Ergebnisses in den Sachzusammenhang fehlt.
Beide Modellierungen sind an sich nicht "falsch" und mit beiden Modellierungen kann man die Frage prinzipiell beantworten.
Das man die eine Modellierungen vielleicht als schöner, natürlicher oder üblicher empfindet, mag sein, aber sie kommen beide [mit der richtigen Interpretation] zu den gleichen Ergebnissen.

In der Rückübersetzung des mathematischen Ergebnisses entscheidet sich dann, ob nicht nur die aus dem mathematischen Modell abgeleitete Frage richtig beantwortet wurde, sondern auch die eigentliche Frage.

Deine Rückübersetzung ist relativ klar. Du schreibst $e_n$ ist die Einwohnerzahl nach $n$ Jahren (ausgehend von der ersten Messung).

Bei der Professorin hast Du das nicht explizit aufgeschrieben. Gemeint ist wohl: $e_n$ ist die Einwohnerzahl bei der $n$-ten Messung (die jeweils im Abstand von einem Jahr erfolgen).

Ein möglicher korrekter Antwortsatz wäre:
Zählt man die Einwohnerzahl einmal jährlich, so wird erstmals bei der 17. Zählung die Einwohnerzahl unter 15000 fallen. Das ist 16 Jahre nach der ersten Zählung.

Ob so eine Antwort formuliert wurde, oder nicht, kann man von außen nicht beurteilen. Aufgeschrieben hast Du keine.

Meine Erfahrung sagt mir:
Wählt man die gleiche Modellierung wie der Aufgabensteller/Korrektor, dann kommt es bei der Beschreibung der Modellierung und Rückübersetzung des Ergebnisses nicht ganz so drauf an. Der Korrektor wird eher davon ausgehen, dass man schon das Richtige meint.
Wählt man eine andere Modellierung als der Aufgabensteller/Korrektor, dann kommt es viel mehr auf die Beschreibung der Modellierung und die Rückübersetzung des Ergebnisses an. Der Korrektor wird Modellannahmen, die von seinem Ansatz abweichen und nicht oder schlecht beschrieben sind eher als falsch/unvollständig ansehen.





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