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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in elementaren Zahlen II
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Universität/Hochschule Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in elementaren Zahlen II
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-23


Hallo,

könnt Ihr bitte mal überprüfen, ob meine Vermutung und mein Beweis unten mathematisch korrekt, vollständig und gut formuliert sind?

Ich möchte folgenden Satz von Lin erweitern.

Satz [Lin 1983]:
Wenn die Vermutung von Schanuel wahr ist und <math>P(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]</math> ein irreduzibles Polynom in genau zwei Unbestimmten ist und <math>P(z_0,e^{z_0})=0</math> für <math>z_0\in\mathbb{C}</math> ungleich <math>0</math>, dann ist <math>z_0</math> nicht in <math>\mathbb{L}</math>.

<math>\mathbb{L}</math> bezeichne die Liouvilleschen Zahlen (= Elementare Zahlen). <math>\mathbb{L}</math> ist der kleinste Körper, der <math>\mathbb{Q}</math> enthält und bezüglich der algebraischen Operationen, <math>\exp</math> und <math>\ln</math> abgeschlossen ist. Die Elementaren Zahlen unterteilen sich in die Expliziten Elementaren Zahlen <math>\mathbb{E}</math> ([Chow 1999]) und die Impliziten Elementaren Zahlen.
<math>\mathbb{E}</math> ist der kleinste Körper, der <math>\mathbb{Q}</math> enthält und bezüglich der expliziten algebraischen Operationen (arithmetische Operationen und Wurzelbildung), <math>\exp</math> und <math>\ln</math> abgeschlossen ist.

Die Elementaren Funktionen sind nach Liouville und Ritt diejenigen Funktionen einer komplexen Variablen, die durch Anwendung einer endlichen Anzahl algebraischer Operationen, <math>\exp</math> und/oder <math>\ln</math> erzeugt werden.


Vermutung:
Sei $E$ eine elementare Funktion.
Wenn die Vermutung von Schanuel wahr ist und <math>P(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]</math> ein irreduzibles Polynom in genau zwei Unbestimmten ist und <math>P(E(z_0),e^{E(z_0)})=0</math> für <math>z_0\in\mathbb{C}</math> mit $E(z_0)\neq 0$, dann gilt <math>z_0\notin\mathbb{L}</math> und <math>z_0\notin\mathbb{E}</math>.

Beweis:
Dass <math>z_0\notin\mathbb{L}</math> sagt der Satz von Lin. Da <math>\mathbb{E}\subset\mathbb{L}</math>, gilt jede Aussage die für alle <math>z_0\in\mathbb{L}</math> gilt auch für alle <math>z_0\in\mathbb{E}</math>.
Aus Lins Satz und dem eben Gesagten ergibt sich $E(z_0)\notin\mathbb{L}$, $E(z_0)\notin\mathbb{E}$.  
Weil $E$ eine elementare Funktion ist, ist $E(z_0)\in\mathbb{L}$ für alle $z_0\colon z_0\in\mathrm{dom}(E)\land z_0\in\mathbb{L}$.  
Aber weil nach Lins Satz $E(z_0)\notin\mathbb{L}$, gilt $z_0\notin\mathbb{L}$.
Mit <math>\mathbb{E}\subset\mathbb{L}</math> ergibt sich daraus $z_0\notin\mathbb{E}$.            <math>\square</math>



[Chow 1999] Chow, T.: What is a closed-form number. Am. Math. Monthly 106 (1999) (5) 440-448
[Lin 1983] Ferng-Ching Lin: Schanuel's Conjecture Implies Ritt's Conjectures. Chin. J. Math. 11 (1983) (1) 41-50

Vielen, vielen Dank.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-27


Könnt Ihr bitte wenigstens den Beweis überprüfen? Er ist doch ganz einfach. Ist der richtig formuliert?



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


Keine Antwort? Heißt das nun, dass sich keiner dafür interessiert, oder dass keiner einen Fehler gefunden hat?
Bitte, bitte meldet Euch! Der Beweis ist für Euch doch elementar.



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