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Analysis » Folgen und Reihen » Reihenkonvergenz durch konvergente Quotientenfolge zeigen (Majorantenkriterium)
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Universität/Hochschule Reihenkonvergenz durch konvergente Quotientenfolge zeigen (Majorantenkriterium)
MalibuRazz
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Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-29


Hallo,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

Ich habe zwei Folgen a_k, b_k gegeben (mit k aus den natürlichen Zahlen), für die fed-Code einblenden gegen eine positive reelle Zahl konvergiert.

Nun muss ich zeigen:
fed-Code einblenden

Als Tipp wurde das Majorantenkriterium gegeben, ich komme nun leider nicht darauf wie ich den Beweis führen soll.
Ich muss ja laut des Tipps zeigen, dass eine von den beiden Folgen kleiner ist als die andere, dessen Reihe jedoch konvergiert. Kann man nach fed-Code einblenden annehmen, dass beide Folgen konvergent sein müssen? Gibt es dafür einen Satz? Habe im Skript keinen gefunden :-?
Freue mich über jede Hilfe!



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2594
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-29


Hallo,

diese Aufgabe würde erst kürzlich besprochen.

Dort wurden gleich zwei unterschiedliche Vorgehensweisen aufgezeigt, beide gehen via Majorantenkriterium.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]



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MalibuRazz
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Dabei seit: 05.04.2019
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29


2019-11-29 21:40 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

diese Aufgabe würde erst kürzlich besprochen.

Dort wurden gleich zwei unterschiedliche Vorgehensweisen aufgezeigt, beide gehen via Majorantenkriterium.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]

Ohh danke, anscheinend einer aus meinem Studiengang. Ich habe hier leider nichts im Forum gefunden, also herzlichen Dank für den Link!



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-29


Hallo,

was genau sollst du denn zeigen?
Das was du hinschreibst ist keine Aussage.

Wahrscheinlich meinst du

$\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert genau dann wenn $\sum_{k=1}^\infty b_k$ konvergiert.

Außerdem weißt du, dass $\lim_{k\to\infty} \frac{a_k}{b_k}=c$ mit $c>0$.

Da du eine Äquivalenz zeigen willst musst du also zwei Richtungen zeigen.

Sei also $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergent. Wir wollen zeigen, dass $\sum_{k=1}^\infty$ ebenfalls konvergiert.

Kann man nach $\frac{a_k}{b_k}$ annehmen, dass beide Folgen konvergent sein müssen?

Nein, das kannst du nicht.
Dein Satz ist aber auch nicht vollständig.

Ein einfaches Gegenbeispiel ist: $a_k=b_k=k$.

Dann gilt $\lim_{k\to\infty} \frac{a_k}{b_k}=1$, aber die Folgen $(a_k), (b_k)$ konvergieren nicht.


Ich muss ja laut des Tipps zeigen, dass eine von den beiden Folgen kleiner ist als die andere

Jein.
Wenn du eine konvergente Reihe hast und zeigen kannst, dass diese deine andere Reihe majorisiert, dann bist du fertig.

Der Tipp sagt aber nicht, dass du nun etwa zeigen sollst, dass $\sum_{k=1}^\infty b_k\leq\sum_{k=1}^\infty a_k$ ist. Im allgemeinen ist das auch nicht korrekt.

Der Tipp sagt, dass du das Majorantenkriterium anwenden kannst. Du daher eine konvergente Majorante konstruieren sollst.
Wie genau diese Majorante aussehen soll, was die mit deiner konvergente Reihe zutun hat, und wie deine weitere Voraussetzung dir dabei hilft, musst du jetzt überlegen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8627
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-29


Hallo MalibuRazz,

die Aussage stimmt so nicht. Das gilt nur bei absoluter Konvergenz.
(Das Majoranten-Kriterium ist sowieso eines, das nur bei absoluter Konvergenz eine Aussage macht).

Wally



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2594
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-29

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo nochmals,

kann es eventuell sein, dass da auch noch gefordert ist, dass \(a_n\) und \(b_n\) positive Folgen sind (wie im anderen Thread)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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