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Physik » Schwingungen und Wellen » Lineare Schwingungen; Bewegungsgleichung mittels Einsetzen prüfen
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Universität/Hochschule J Lineare Schwingungen; Bewegungsgleichung mittels Einsetzen prüfen
maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Ich soll durch Einsetzen folgenden Ansatzes für freie, schwach gedämpfte Schwingungen des Weg-Zeit-Gesetzes zeigen,

\(s(t)=\hat{s_0}e^{-δt}*sin(\omega_dt+φ_0) \)
(Index d steht für gedämpft)

dass diese die folgende Bewegungsgleichung erfüllt, wenn im nachfolgenden der "Antrieb" abgeschaltet wird:

\(m\frac{d^2s}{dt^2}+b\frac{ds}{dt}+cs=c\hat{A_E}sin(\omega_Et)\)

 

\(\hat{A_E}\) = Radius der Exzenterbahn bzw. Amplitude
\(b\) = Dämpfungskonstante
\(\omega_E\) = Winkelgeschwindigkeit Exzenter
\(δ=\frac{b}{2m}\) = Abklingkonstante in \(s^{-1}\)
\(c\) = Federkonstante


Wie zeige ich das nun durch Einsetzen? Und was ist mit "Antrieb" in der zweiten Gleichung gemeint?
\(\endgroup\)


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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-29


Hallo Max,
die Bewegungsgleichung ergibt sich aus dem Newton-Axiom
$$m\frac{\mathrm{d}^2 s}{\dd t^2}=\sum F$$ wobei die drei Kräfte die zur Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft, die Federkraft und die vom Exzenter ausgeübte Antriebskraft sind. Setzt man die Antriebskraft Null, so erhält man eine homogene Differentialgleichung für $s$. Du sollst zeigen, dass der Ansatz $s(t)$ diese Gleichung löst. Dazu setzt Du $s$, $v=\frac{\dd s}{\dd t}$ und $a=\frac{\dd^2 s}{\dd t^2}$ in die Gleichung ein und bestimmst den Wert $\omega_d$, für den die Gleichung erfüllt wird.

Servus,
Roland
PS: Der <math>\LaTeX</math>-Befehl für <math>\sin(x)</math> ist \sin(x), damit wird die Funktion so dargestellt, wie Donald Knuth das wollte. Für das Multiplikationssymbol <math>\cdot</math> gibt es \cdot.



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


Ahh, mist, ich habe diesen Post editiert, statt einen neuen Post zu schreiben...
Einfach diesen hier nicht beachten, sondern den nächsten.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-30


Hallo Max,
die erste Gleichung dient dazu, die physikalischen Zusammenhänge klarer zu machen. Für die Aufgabe betrachten wir den Fall ohne Antrieb, also die Gleichung bei der die rechte Seite den Wert 0 hat.
Beim Einsetzen musst Du auch $v$ durch die erste und $a$ durch die zweite Ableitung von $s$ ersetzen.

Servus,
Roland



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Also so:

$$m\cdot \ddot{s}+b\cdot \dot{s}+c\cdot s=0$$

Und dann jetzt schon das \(s\) einsetzen oder noch nicht?

$$m\cdot \ddot{s}+b\cdot \dot{s}+c\cdot \hat{s_0}\cdot e^{-δt}\cdot \sin(\omega_dt+φ_0)=0$$
Muss ich dann \(\hat{s_0}\cdot e^{-δt}\cdot \sin(\omega_dt+φ_0)\) jeweils einmal und dann ein zweites Mal ableiten, um die anderen beiden \(\ddot{s}\) und \(\dot{s}\) zu ersetzen?


Ich habe jetzt mal die beiden Ableitungen von s gebildet und eingesetzt:

$$\dot{s}=-\hat{s_0}\cdot e^{-δt}\cdot[δ\cdot \sin(ω_dt+φ_0)-ω_d\cdot\cos(ω_dt+φ_0)]$$ $$\ddot{s}=-\hat{s_0}\cdot e^{-δt}\cdot[(ω_d^2-δ^2)\cdot \sin(ω_dt+φ_0)+2ω_dδ\cdot\cos(ω_dt+φ_0)]$$
Eingesetzt:

$$m\cdot[-\hat{s_0}\cdot e^{-δt}\cdot[(ω_d^2-δ^2)\cdot \sin(ω_dt+φ_0)+2ω_dδ\cdot\cos(ω_dt+φ_0)]]+b\cdot[-\hat{s_0}\cdot e^{-δt}\cdot[δ\cdot \sin(ω_dt+φ_0)-ω_d\cdot\cos(ω_dt+φ_0)]]+c\cdot[\hat{s_0}\cdot e^{-δt}\cdot \sin(\omega_dt+φ_0)]=0$$
Wie soll ich das jemals gelöst bekommen? Da wird mir ja schwindelig... frown  confused
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Ich habe mal so ausgeklammert:

$$s\cdot e^{-δt}\cdot[-mω^2\cdot\sin+mδ^2\cdot\sin-2mδω\cdot\cos-bδ\cdot\sin+bω\cdot\cos+c\cdot\sin]=0
$$
Kann ich durch \(s\cdot e^{-δt}\) teilen oder wird \(s=0\) und somit ist es verboten dadurch zu teilen? Dann kann ich zumindest durch \(e^{-δt}\) teilen, da der Teil nie 0 wird.
Ich hab die Indizes und den Teil, der in den Klammern von Sinus und Cosinus steht der Übersichtlichkeit halber weggelassen.
\(\endgroup\)


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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-01


Hallo Max,
2019-11-30 22:57 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 5 schreibt:
Kann ich durch \(s\cdot e^{-δt}\) teilen oder wird \(s=0\) und somit ist es verboten dadurch zu teilen? Dann kann ich zumindest durch \(e^{-δt}\) teilen, da der Teil nie 0 wird.
ich nehme an, dass Du die Amplitude $\hat{s}_0$ meinst, wenn Du $s$ schreibst.
Diese ist ungleich Null, weil wir an Schwingungen interessiert sind, nicht am Stillstand.

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland





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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Ganz zum Schluss erhalte ich folgende Gleichung, wenn ich zwischendurch \(δ=\frac{b}{2m}\) eingesetzt habe und am Ende wieder zurückgeformt habe. Zudem habe ich durch \(\cos\) geteilt, um \(\tan\) zu erhalten und \(\cos\) loszuwerden, ich hoffe, dass das erlaubt war:

$$\tan(ω_d^2t+φ_0)\cdot [-m\cdot ω_d^2-δ^2+c]=0$$
Falls was unklar sein sollte, wie ich dahin gekommen bin, kann ich den Rechenweg noch posten.

Wie gehe ich nun damit weiter um?
\(\endgroup\)


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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-01


Hallo

Der Kosinus sollte eigentlich von alleine verschwinden. Deshalb musst du nicht durch cos dividieren. Versuche erstmal die linke Seite so umzuformen, dass sowas wie die rechte Seite übrig bleibt.

Gruß Caban



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
2019-11-29 21:38 - maxmustermann9991 im Themenstart schreibt:


\(m\frac{d^2s}{dt^2}+b\frac{ds}{dt}+cs=c\hat{A_E}sin(\omega_Et)\)

 

Meinst du, dass sie wie diese rechte Seite aussieht?


$$\sin(ω_dt+φ_0)\cdot\biggl(m\cdotω_d^2+δ^2\biggr)=\sin(ω_dt+φ_0)\cdot c$$ $$ω_d=\sqrt{\frac{c}{m}-\frac{δ^2}{m}}=\sqrt{\frac{c}{m}-\frac{(\frac{b}{2m})^2}{m}}=\sqrt{\frac{c}{m}-\frac{b^2}{4m^3}}$$
Allerdings ist laut Skript \(ω_d=\sqrt{\frac{c}{m}-\biggl(\frac{b}{2m}\biggr)^2}\) und das passt nun nicht zu meiner Endlösung, da ich im Nenner ein \(m^3\) stehen habe, statt \(m^2\).
\(\endgroup\)


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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-01


Hallo

Ich komme auf die Formel im Skript, zeig mal deine Rechnungen.

Gruß Caban



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)

$$s\cdot e^{-δt}\cdot[-mω^2\cdot\sin+mδ^2\cdot\sin-2mδω\cdot\cos-bδ\cdot\sin+bω\cdot\cos+c\cdot\sin]=0
$$


$$-mω^2\cdot\sin+mδ^2\cdot\sin-2mδω\cdot\cos-bδ\cdot\sin+bω\cdot\cos+c\cdot\sin=0$$ $$-mω^2\cdot\tan+mδ^2\cdot\tan-2mδω-bδ\cdot\tan+bω+c\cdot\tan=0$$ $$-mω^2\cdot\tan+m\cdot\bigl(\frac{b}{2m}\bigr)^2\cdot\tan-2m\cdot\frac{b}{2m}ω-b\cdot\frac{b}{2m}\cdot\tan+bω+c\cdot\tan=0$$ $$-mω^2\cdot\tan-\frac{b^2}{4m}\cdot\tan+c\cdot\tan=0$$ $$\sin\cdot\biggl(-mω^2-\frac{b^2}{4m}+c\biggr)=0$$ $$c-\biggl(\frac{b}{2m}\biggr)^2=m\cdotω^2$$ $$ω^2=\frac{c}{m}-\frac{\bigl(\frac{b}{2m}\bigr)^2}{m}$$ $$ω=\sqrt{\frac{c}{m}-\frac{b^2}{4m^3}}$$
\(\endgroup\)


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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-01


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01


Ahhhhhhh..... endlich, ich war schon am verzweifeln, bin die Rechnung rauf und runter gegangen, ohne diesen Fehler zu sehen.
Vielen Dank!!



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maxmustermann9991 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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