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Analysis » Folgen und Reihen » Reihe a_n gerade, a_n ungerade, absolute Konvergenz
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Universität/Hochschule Reihe a_n gerade, a_n ungerade, absolute Konvergenz
Peter43
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 23.11.2019
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-30


Hallo,

die Aufagbe lautet:

Betrachte die Reihe \\sum _{k=0}^{\infty } ak mit den Gliedern

an=n/2^n, n ungerade und an=1/2^n, n gerade

Man soll untersuchen, ob lim n gegen unendlich |an+1/an| bzw. lim n gegen unendlich nwurzel|an| existieren. Ist \\sum _{k=0}^{\infty } ak absolut konvergent.

Mein Ansatz war, dass ich erstmal für n gerade und n ungerade jeweils das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium angewendet habe.

Beim Quotientenkriterium habe ich für n ungerade 1/2<1 raus und für n gerade 2>1. Wenn an<1 dann konvergiert die Reihe ja absolut. Das wäre ja bei n ungerade so.

Beim Wurzelkriterium habe ich für n ungerade und gerade jeweils 1/2 raus. Also 1/2<1 konvergiert absolut.

Wie mache ich jetzt weiter? Könnt ihr mir vllt weiter helfen?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2622
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-30

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

es ist alles etwas schwierig zu entwirren, du solltest bei solchen Fragen auf die Möglichkeiten für mathematische Notationen zurückgreifen, die es hier gibt.

Der Sinn dieser Aufgabe besteht in meinen Augen darin, dass man erkennt, dass die Reihe (absolut) konvergent ist, das Wurzelkriterium zum Nachweis der Konvergenz funktioniert, das Quotientenkriterium jedoch nicht.

Insbesondere muss die Fallunterscheidung für das Quotientenkriterium hier anders aussehen. Du musst \(\lim_{n\to{\infty}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) einmal für n gerade und einmal für n ungerade untersuchen. Dabei kommt allerdings weder \(1/2\) noch \(2\) heraus (wo sind die Rechnungen hierzu? Diese bitte stets mit angeben).

Beim Wurzelkriterium muss man im Prinzip auch beide Fälle betrachten um dann festzustellen, dass man in beiden Fällen den gleichen Grenzwert bekommt (den du ja auch korrekt bestimmt hast).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Peter43
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 23.11.2019
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


Meine Rechnungen für das Quotientenkriterium lauten einmal für n ungerade:

|(n+1)*2^n/2^(n+1) *n|
=|n+1/2^(n-n+1)*n|
=|n+1/2n|
=1/2 lim (n+1/n)  
=1/2 lim (n/n + 1/n)/(n/n)
=1/2

und für n gerade

|(1/2^(n+1)/ 2^(1/n)|
=|1*2^n/2^(n+1)|
= lim 2^n/2^(n+1) = hm...ok da sehe ich gerade das ich einen Fehler gemacht habe...das ist doch nicht 2



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 752
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-30


Hallo

Nein, du musst nutzen, dass auf gerade Zahl immer eine ungerade kommt und umgekehrt.

Gruß Caban



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2622
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-30


@Caban:
2019-11-30 13:46 - Caban in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein, du musst nutzen, dass auf gerade Zahl immer eine ungerade kommt und umgekehrt.

...dass auf ein Reihenglied mit geradem Index stets eines mit ungeradem Index folgt und umgekehrt (um genau zu sein).  wink


Gruß, Diophant



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