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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Extremwerte von f(x,y), wenn Det(Hessematrix) = 0
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Autor
Universität/Hochschule Extremwerte von f(x,y), wenn Det(Hessematrix) = 0
twinlab
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 26
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-02


Hi kurze (für euch bestimmt einfache) Frage:

Notwendiges Kriterium für einen Extremwert der (total differenzierbaren) Funktion f(x,y) ist ja  grad f(x,y) = 0, ist klar.

Hinreichend ist, dass die Determinante der Hessematrix ungleich null ist.

Was macht man aber, wenn Det H = 0 ?? In der Vorlesung hieß es nur, dass das dann schwierig ist... Gibt es da keine allgemeine Regel?




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-02


Hallo twinlab,

zu deiner Frage steht auf Wikipedia ein kurzer und knapper Satz, der alles beantwortet:

Falls die Hesse-Matrix an der untersuchten Stelle nur semidefinit ist, so versagt dieses Kriterium und der Charakter des kritischen Punktes muss auf anderem Wege ermittelt werden.


Gruß, Diophant



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twinlab
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.01.2018
Mitteilungen: 26
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-02


ja ja... aber WIE ?



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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-02


Huhu twinlab,

wie habt ihr ein Extrempunkt definiert?

Gruß,

Küstenkind



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-02


2019-12-02 18:52 - twinlab im Themenstart schreibt:
Hinreichend ist, dass die Determinante der Hessematrix ungleich null ist.

Hallo twinlab,

das stimmt nicht, siehe z.B. $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$, $f(x,y) = x^2-y^2$ im Punkt $(0,0)$.



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twinlab
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.01.2018
Mitteilungen: 26
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-02


Extremwert war bei uns alles was "extrem" ist - also Maximum, Minimum oder Sattelpunkt. Ist der Sattelpunkt normalerweise kein extremer Punkt?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 800
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-02


Hallo

Nein, der Sattelpunkt ist kein Extrempunkt.

Gruß Caban



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8662
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-03


Hallo twinlab,

das ist ähnlich unübersichtlich wie der eindimensionale Fall.

Eine Chance ist es, Taylorpolynome höheren Grades zu untersuchen.

Dazu spaltet man den Raum auf in einen Anteil, in dem die Hessematrix definit ist, und erhält hier z.B. bei negativer Definitheit ein Maximum. Das kann man machen, indem man passende neue Koordinaten wählt, man bringt die Hessematrix auf Diagonalgestalt und nimmt die Basisvektoren mit negativen Diagonaleinträgen.

Auf dem Komplement (Spann der Basisvektoren mit Nullen in der Dagonale) ist die Hessematrix Null, und nur hier sieht man weiter.

Falls eine der dritten Ableitungen ungleich Null ist, hat man sicher einen Sattelpunkt. Ansonsten guckt man, ob die aus den vierten Ableitungen gebildete Form (= alles aus dem Taylorpolynom auf diesem Raumteil) ein festes Vorzeichen hat usw.usw.

Wally



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ThomasRichard
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 396
Aus: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-03


Hallo twinlab,

möglicherweise findest du mehr unter dem Suchbegriff (homogene) Monge-Ampère-Gleichung. Die besagt gerade, dass die Determinante der Hesse-Matrix gleich 0 ist.


-----------------
Thomas Richard
Application Engineering / Technischer Support
Maplesoft Europe GmbH



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