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Strukturen und Algebra » Gruppen » Menge aller bijektiven Funktionen verstehen
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Universität/Hochschule Menge aller bijektiven Funktionen verstehen
MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-03


Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe:

FÜr eine Menge M bezeichne Bij(M) die Gruppe der bijektiven
Abbildungen f : M → M mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung.

Sei nun (G, ◦) eine Gruppe.

Aufgabe: zz: die Abbildung fed-Code einblenden ist ein Gruppenhomomorphismus mit fed-Code einblenden und a ∈ G

Definition Gruppenhomomorphismus: fed-Code einblenden

Meine Frage bzw mein Problem: ich kann mir die Abbildung l irgenwie gar nicht vorstellen und weiß nicht, wie ich dieses fed-Code einblenden definieren soll um die Definition anwenden zu können :(
freue mich über jede Hilfe!!!!



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-03



Man kann das hier rein formal durch Einsetzen machen. Aber vielleicht ist es sinnvoll, sich zuerst eine Intuition zu verschaffen. Betrachte die Gruppe $(\IR,+)$, ihre Elemente sind Zahlen, die Verknüpfung die Addition. Man kann jeder Zahl $x\in\IR$ aber auch eine Verschiebung um $x$ zuordnen, also eine Abbildung $t_x : \IR\to\IR$, $t_x(y) = x + y$. Das ist eine bijektive Abbildung. Die Zuordnung $x\mapsto t_x$ ist also eine Abbildung von $\IR$ nach $\mathrm{Bij}(\IR)$. Kannst du nachrechnen, dass das ein Homomorphismus ist? Also dass $t_{x+y} = t_x\circ t_y$ ist? Intuitiv sollte das klar sein: Erst um $y$ und dann um $x$ zu verschieben ist dasselbe wie gleich um $x+y$ zu verschieben.

Es sollte dann leicht sein, das auf den allgemeinen Fall zu übertragen.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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Vega
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-03


Hi MalibuRazz,

Du musst kein spezielles $\phi$ selber definieren.

Die Aufgabe besteht darin zu zeigen, daß die untere Gleichung gilt, wenn du $\phi$ durch $l$ ersetzst.
Also zu zeigen:

$l(g_{1} \otimes g_{2}) = \dots = l(g_{1}) \otimes l(g_{2}) \forall g_{1},g_{2} \in G$.

Dies sollte mit der Definition von $l$ relativ gut gehen.
Ist das so klarer?

VG
Vega

 


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03


2019-12-03 11:32 - ligning in Beitrag No. 1 schreibt:

Man kann das hier rein formal durch Einsetzen machen. Aber vielleicht ist es sinnvoll, sich zuerst eine Intuition zu verschaffen. Betrachte die Gruppe $(\IR,+)$, ihre Elemente sind Zahlen, die Verknüpfung die Addition. Man kann jeder Zahl $x\in\IR$ aber auch eine Verschiebung um $x$ zuordnen, also eine Abbildung $t_x : \IR\to\IR$, $t_x(y) = x + y$. Das ist eine bijektive Abbildung. Die Zuordnung $x\mapsto t_x$ ist also eine Abbildung von $\IR$ nach $\mathrm{Bij}(\IR)$. Kannst du nachrechnen, dass das ein Homomorphismus ist? Also dass $t_{x+y} = t_x\circ t_y$ ist? Intuitiv sollte das klar sein: Erst um $y$ und dann um $x$ zu verschieben ist dasselbe wie gleich um $x+y$ zu verschieben.

Es sollte dann leicht sein, das auf den allgemeinen Fall zu übertragen.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]

Achso, erstmal danke für deine Hilfe. Wenn ich dein Beispiel auf meine Aufgabe übertrage, muss also gezeigt werden, dass fed-Code einblenden , aber wie sieht diese l-Funktion aus? Also wo setze ich das ein? fed-Code einblenden

Danke schonmal!!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03


2019-12-03 11:41 - Vega in Beitrag No. 2 schreibt:
Hi MalibuRazz,

Du musst kein spezielles $\phi$ selber definieren.

Die Aufgabe besteht darin zu zeigen, daß die untere Gleichung gilt, wenn du $\phi$ durch $l$ ersetzst.
Also zu zeigen:

$l(g_{1} \otimes g_{2}) = \dots = l(g_{1}) \otimes l(g_{2}) \forall g_{1},g_{2} \in G$.

Dies sollte mit der Definition von $l$ relativ gut gehen.
Ist das so klarer?

VG
Vega

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Das ist ja mein Problem :( das l ist das phi aus der Definition, aber wie genau sieht das hier aus? fed-Code einblenden

 




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Vega
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-03


Fast: $l_{a\otimes x}(x) = a \otimes x \otimes x$ nach der Definition in Beitrag 1.

Du verwechselst glaube ich $l$ und $l_{a}$.
$l$ ist der Homomorphismus und $l_{a}$ das Bild $l(a)$ wenn man $a$ in $l$
einsetzt (was wieder eine Abbildung ist)

Kleiner Ansatz:

$$ l(g_{1} \otimes g_{2})(x) = l_{g_{1}\otimes g_{2}}(x) = \dots = (l(g_{1}) \otimes l(g_{2}))(x).  
$$
Da sollten eigentlich nur noch zwei Terme fehlen.



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03


2019-12-03 12:25 - Vega in Beitrag No. 5 schreibt:
Fast: $l_{a\otimes x}(x) = a \otimes x \otimes x$ nach der Definition in Beitrag 1.

Du verwechselst glaube ich $l$ und $l_{a}$.
$l$ ist der Homomorphismus und $l_{a}$ das Bild $l(a)$ wenn man $a$ in $l$
einsetzt (was wieder eine Abbildung ist)

Kleiner Ansatz:

$$ l(g_{1} \otimes g_{2})(x) = l_{g_{1}\otimes g_{2}}(x) = \dots = (l(g_{1}) \otimes l(g_{2}))(x).  
$$
Da sollten eigentlich nur noch zwei Terme fehlen.

Okay, ich glaube ich habs:
fed-Code einblenden

Nun muss ich noch den Kern bestimmen



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Vega
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-03


Das ergibt so noch keinen Sinn. (Das $x$ sollte man nicht zweimal verwenden,  Wo kommt das $b$ her)

Vielleicht verstehst du es besser, wenn du dir die erste Antwort
von ligning genauer anschaust.



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