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Analysis » Stetigkeit » Lipschitz-Stetigkeit
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Universität/Hochschule J Lipschitz-Stetigkeit
Tray_ger
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-04


Hallo zusammen!

Ich soll zeigen, dass die Funktion
 $$f: [-1/2;1/2]->\mathbb{R}$$ mit $$ f(x)=1+x-exp(x)$$ lipschitz stetig ist. Wir hatten zuvor noch nie über lipschitz stetigkeit geredet und  daher ist als Vorraussetzung nur gegeben, dass gelten soll:
$$|f(x)-f(y)|\le( C*|x-y|)$$ mit   $$x,y\in [-1/2;1/2]$$  
und   $$C\in\mathbb{R}$$
Könnte mir da jemand vielleicht mit einem ansatz aushelfen?



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Conny42
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-04


Huhu Tray_ger und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Seien $x,y \in [-1/2,1/2]$. Dann gilt

$|f(x)-f(y)| = |x-y + \exp(y)-\exp(x)| \leq |x-y| + |\exp(x)-\exp(y)|$.

Der erste Summand sieht doch schon einmal gut aus, jetzt musst du dich also nur noch um den zweiten Summanden kümmern. Dabei sollte dir der Mittelwertsatz helfen.

Liebe Grüße,
Conny



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Tray_ger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-04


Danke schonmal für die schnelle Antwort Conni!

Beim durchrechnen komme ich auf $$|x-y+exp(y)-exp(x)|\le|x-y|+|exp(y)-exp(x)|$$ Durch den mittelwertsatz ergibt sich: $$\frac{exp(y)-exp(x)}{y-x}=exp`(a)=exp(a)$$ mit $$a\in[-1/2;1/2].$$ Darus ergibt sich $$ exp(y)-exp(x)=exp(a)*(y-x)$$ einsetzen
$$|x-y+exp(y)-exp(x)|\le|x-y|+|exp(a)*(y-x)|=|y-x|+|exp(a)*(y-x)|$$ $$=|y-x|*|exp(a)+1|=|x-y|*|exp(a)+1|$$ stimmt das so?

Das einzige Problem, das ich habe ist folgendes: wir haben bisher in der Vorlesung weder Differenzierbarkeit noch den Mittwlwertsatz behandelt. Daher bin ich mir nicht sichre ob ich diesen weg benutzen darf :(

Gruß, Tray



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-04


Wie habt ihr denn die Exponentialfunktion definiert?



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Tray_ger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-04


Mit der Reihendarstellung also:
$$exp(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} $$



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-04


Hallo Tray_ger,

es ist $|f(x)-f(y)| = \left|\sum_{n=2}^\infty \frac{y^n-x^n}{n!}\right|$.

Nun nutze $y^n-x^n = (y-x)(y^{n-1} + y^{n-2}\cdot x + .... + y\cdot x^{n-2} + x^{n-1})$ um $y-x$ aus der Reihe zu ziehen und überlege dir, wieso die restliche Reihe (als Funktion von $x$ und $y$) beschränkt ist.

Zusatz:

2019-12-04 16:29 - Tray_ger in Beitrag No. 2 schreibt:
Beim durchrechnen komme ich auf $$|x-y+exp(y)-exp(x)|\le|x-y|+|exp(y)-exp(x)|$$

Falls du den Mittelwertsatz benutzen darfst, ist das nicht nötig: Du kannst dir mit dem MWS leicht überlegen, dass jede stetig differenzierbare Funktion auf einem kompakten Intervall auch Lipschitz stetig ist.



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Tray_ger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


Danke qzwru,

mit der Formel

$$ y^n-x^n=(y-x)*(y^{(n-1)}+y^{(n-2)}*x+...+y*x^{(n-2)}+x^{(n-1)}$$
hat es dann geklappt!



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