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Analysis » Stetigkeit » Ist f im Nullpunkt stetig, so auf ganz R
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Universität/Hochschule Ist f im Nullpunkt stetig, so auf ganz R
MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-05


Hallo,

ich habe folgende Funktion gegeben:
fed-Code einblenden
und muss nun zeigen, dass wenn f im Nullpunkt stetig ist, so ist f auf ganz R stetig. Am liebsten mit der Folgenstetigkeit

Mein Ansatz:
Voraussetzung: f ist in Nullpunkt stetig mit f(0)=1,
fed-Code einblenden
Nun muss ich zeigen, dass f in jedem Punkt a aus R stetig ist.

Ich bitte um Hilfe




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-05


Hallo

Sei $a\in \mathbb{R}$ beliebig. Weiter sei $(a_n)_n$ eine gegen $a$ konvergente Folge. Wir betrachten die Folge $(b_n)_n$ mit $b_n=a_n-a$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Nun gilt
\[f(a_n)= f(a+b_n) \leq \ldots.\] Wie geht es weiter?


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von ochen]



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


2019-12-05 15:35 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo

Sei $a\in \mathbb{R}$ beliebig. Weiter sei $(a_n)_n$ eine gegen $a$ konvergente Folge. Wir betrachten die Folge $(b_n)_n$ mit $b_n=a_n-a$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Nun gilt
\[f(a_n)= f(a+b_n) \leq \ldots.\] Wie geht es weiter?


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von ochen]

Nach Aufgabe muss dann gelten:
fed-Code einblenden



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-05


Hallo  MalibuRazz,


2019-12-05 15:50 - MalibuRazz in Beitrag No. 2 schreibt:

fed-Code einblenden



bilde nun den Limes. Was gilt im Limes für \(b_n\)?.


lg Wladimir




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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


2019-12-05 15:52 - wladimir_1989 in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo  MalibuRazz,


2019-12-05 15:50 - MalibuRazz in Beitrag No. 2 schreibt:

fed-Code einblenden

bilde nun den Limes. Was gilt im Limes für \(b_n\)?.

Danke für deine Hilfe.
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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-05


Hallo,

2019-12-05 16:38 - MalibuRazz in Beitrag No. 4 schreibt:

Danke für deine Hilfe.
fed-Code einblenden


genau \(b_n\) ist eine Nullfolge, was gilt jetzt also für \(f(b_n)f(a)\) für \(n\to \infty\)?


lg Wladimir



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


2019-12-05 18:38 - wladimir_1989 in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,

2019-12-05 16:38 - MalibuRazz in Beitrag No. 4 schreibt:

Danke für deine Hilfe.
fed-Code einblenden


genau \(b_n\) ist eine Nullfolge, was gilt jetzt also für \(f(b_n)f(a)\) für \(n\to \infty\)?


lg Wladimir


Wenn ich eine Nullfolge habe, weiß ich doch noch nichts über deren Funktionswert, ich habe doch nicht mal ein f explizit definiert Q.Q



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-05


Hallo nochmal,

wohin konvergiert denn die Folge $(f(a_n))_n$? Du weißt, dass $f$ stetig in Null ist und kennst auch den Funktionswert an dieser Stelle.



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05


2019-12-05 22:00 - ochen in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo nochmal,

wohin konvergiert denn die Folge $(f(a_n))_n$? Du weißt, dass $f$ stetig in Null ist und kennst auch den Funktionswert an dieser Stelle.

Die Voraussetzung "f im Nullpunkt stetig mit f(0)=1" impliziert dass für jede Nullfolge $x_n -> 0 $ gilt $ f(x_n) -> f(0)=1$
Kann ich das dann auch auf b_n übertragen? Also dass aus der Stetigkeit des Nullpunkts folgt, dass jede Nullfolge gegen f(0)=1 konvergiert und f somit auf ganz R stetig ist?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-05


2019-12-05 22:18 - MalibuRazz in Beitrag No. 8 schreibt:
Kann ich das dann auch auf b_n übertragen? Also dass aus der Stetigkeit des Nullpunkts folgt, dass jede Nullfolge gegen f(0)=1 konvergiert und f somit auf ganz R stetig ist?

Nullfolgen konvergieren nie gegen Eins. Wogegen konvergiert $(f(a_n))_n$? Wir haben $(a_n)_n$ doch irgendwie gewählt und warum haben wir sie so gewählt?



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MalibuRazz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-06


2019-12-05 23:29 - ochen in Beitrag No. 9 schreibt:
2019-12-05 22:18 - MalibuRazz in Beitrag No. 8 schreibt:
Kann ich das dann auch auf b_n übertragen? Also dass aus der Stetigkeit des Nullpunkts folgt, dass jede Nullfolge gegen f(0)=1 konvergiert und f somit auf ganz R stetig ist?

Nullfolgen konvergieren nie gegen Eins. Wogegen konvergiert $(f(a_n))_n$? Wir haben $(a_n)_n$ doch irgendwie gewählt und warum haben wir sie so gewählt?

a_n konvergiert gegen a, sodass b_n gegen Null konvergiert nach Definition. Aber ich weiß nicht wogegen f(a_n) konvergiert. Ich muss doch zeigen, dass es gegen f(a) konvergiert oder nicht?



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cripper
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Hallo zusammen,

du weißt bereits, dass \(f(a_n)=f(a+b_n)\overset{\text{Voraussetzung}}{\leq} f(a)*f(b_n)\) gilt. Allerdings hast du selbst zu Beginn deines Threads richtig bemerkt, dass die Stetigkeit im Nullpunkt gerade bedeutet, dass für jede Nullfolge \(c_n\) (also auch \(b_n=a_n-a\)) \(\lim_{n \to \infty} f(c_n)=f(0)=1\) ist. Deshalb folgt sofort \(\lim_{n \to \infty} f(a)*f(\underbrace{b_n}_{\rightarrow 0})=f(a)*f(0)=f(a)*1=f(a)\). Was hast du jetzt dabei gewonnen? Das da: \(f(a_n)\leq f(a)*f(b_n)\underset{n \to \infty}{\longrightarrow} f(a)\). Ja, du hast recht damit, dass das nicht ausreicht, um die Stetigkeit in jedem Punkt zu folgern. Wenn du allerdings noch eine Abschätzung nach unten in der Art \(f(a_n)\geq \text{...} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} f(a)\) findest, folgt daraus mit dem Einschließungssatz \(f(a_n)\underset{n \to \infty}{\longrightarrow} f(a)\) für jede konvergente Folge \(a_n\) und damit die Stetigkeit in jedem Punkt.

Gruß
cripper





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