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Lineare Algebra » Vektorräume » Projektionsabbildungen des direkten Produkts sind linear
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Universität/Hochschule Projektionsabbildungen des direkten Produkts sind linear
MalibuRazz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.04.2019
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-06


Hallo,

ich tue mich noch schwer mir lineare Abbildungen vorzustellen, z.B. bei folgender Aufgabe:

fed-Code einblenden

Nun muss ich zeigen, dass die beiden Abbbildungen linear sind. Ich verstehe allerdings nicht, was fed-Code einblenden genau meinen bzw. wie ich jetzt v und w wählen soll, ich muss ja als erstes zeigen, dass fed-Code einblenden gilt.

Danke!

PS: ich muss auch noch zeigen, dass V × W ein Vektorraum ist und dazu dass (V,+) eine abelsche Gruppe ist, bei der Assoziativität brauche ich ja drei Vektoren, ich weiß aber nicht, wie u aussehen soll, fed-Code einblenden oder wie?? Hilfeee



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2434
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-06


Hallo,

lass uns eins nach dem anderen machen.


ich verstehe allerdings nicht, was  $V \oplus\ W$ und $(v, w) \to v$  genau meinen

Du definierst zwei Abbildungen

$\pi_1: V\oplus W\to V$, $(v,w)\mapsto v$

und

$\pi_2: V\oplus W\to W$, $(v,w)\mapsto w$

Das sind sogenannte Projektionsabbildungen.
Wir nehmen ein Element $(v,w)$ aus $V\oplus W=V\times W$. Also einfach ein Paar mit $v\in V$ und $w\in W$.

Die Projektion $\pi_1$ schickt das Paar einfach auf die erste Koordinate. Ebenso schickt $\pi_2$ das Paar auf die zweite Koordinate.

Die Abbildungen sind also recht leicht.
Beispiel: $V=W=\mathbb{R}$

$\pi_1: \mathbb{R}\times \mathbb{R}, (v,w)\mapsto v$

Also zum Beispiel $\pi_1(0,1)=0$, oder $\pi_1(0,2)=0$, $\pi_1(1,2)=1$.

Jetzt wollen wir zeigen, dass die $pi_i$ (i=1,2) lineare Abbildungen sind.
Dazu müssen wir die Axiome prüfen.

Wir müssen also zeigen, dass für $x,y\in V\times W$ gilt:

$\pi_1(x+y)=\pi_1(x)+\pi_1(y)$

und wenn $\alpha\in K$ ein Skalar ist, dann

$\pi_1(\alpha x)=\alpha x$

Bedenke nun, dass $x,y\in V\times W$. Es sind also jeweils Paare.
Wir schreiben also $x=(x_1, x_2)$ und $y=(y_1, y_2)$.

Bisher ist das alles nur Definition. Es ist noch nichts passiert.

Nun zeige: $\pi_1((x_1,x_2)\oplus(y_1, y_2))=\pi_1(x_1,x_2)+\pi_1(y_1, y_2)$

und $\pi_1(\alpha(x_1, x_2))=\alpha\pi(x_1, x_2)$

Bedenke dazu wie $\oplus$ und $\cdot$ hier definiert ist.
Wobei man für $\cdot$ in $V\times W$ vielleicht konsequenter $\odot$ schreiben sollte, um es besser zu unterscheiden, welche Verknüpfung in welcher Struktur benutzt wird.

Das ist auch wieder nur Anwendung der Definition.
Es geht hier darum genau zu lesen. Dann schaffst du das. Die Rechnung ist nun nicht mehr schwer.

$\pi_1((x_1, x_2)+(y_1, y_2))=\dotso =\dotso=\dotso$

Alles andere zeigt man Analog.




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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2936
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-06


Die Aufgabe schafft unnötige Verwirrung durch die Verwendung des Symbols $\oplus$. Es ist zwar richtig, dass in diesem Fall $V\times W$ und $V\oplus W$ als Vektorräume gleich konstruiert werden, aber dennoch unterscheiden sich ihre Rollen, und im Allgemeinen (andere Kategorie, oder unendlich viele Vektorräume) sind sie auch nicht isomorph.

Man sollte also $V\times W$ schreiben, denn die Projektionsabbildungen $\pi_1$, $\pi_2$ gehören zum Produkt, nicht zur direkten Summe.

Und man sollte auf $V\times W$ die Addition durch $+$ notieren. Schließlich benutzt man auch für $V$ und $W$ das gleiche Additionssymbol ohne durcheinanderzukommen, und hier hat man ja sogar mit Tupeln zu tun, es besteht also eher weniger Verwechslungsgefahr.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von ligning]


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