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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenznachweis Potenzreihe
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Universität/Hochschule J Konvergenznachweis Potenzreihe
Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-06


Hallo Liebe Leute und einen schönen Nikolaustag! Ich habe mal wieder eine Frage an euch und zwar soll ich für die Reihe   fed-Code einblenden
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keine der Formeln (Euler, Hadamard) verwenden kann um den Konvergenzradius zu bestimmen. Ebenso soll ich eine geeignete Hilfsvariable einführen, um doch eine der Formeln benutzen zu können.

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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-06

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Hallo Dreadwar,

die Voraussetzung $a_k\neq0$ gilt nur für Euler, nicht aber für Hadamard. Die Formel von Hadamard ist ja $R=\left(\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\vert a_k\vert}\right)^{-1}$. Den $\limsup$ kann man auch berechnen, wenn in der Wurzel Nullen stehen.
Außerdem ist im Kontext von Potenzreihen $0^0:=1$, denn der Term $a_0z^0$ soll eine Konstante sein. Für die Notation ist es aber einfacher, das $z^0$ mitzuschleppen, weil man dann keine Ausnahme für den 0-ten Term machen muss.

Zur eigentlichen Aufgabe: Du solltest versuchen, die Potenzreihe in die Form $\sum_k a_kx^k$ zu bringen. Am besten solltest du die Hilfsvariable (ich nenne sie mal $x$) also so wählen, dass die Potenzreihe genau diese Form annimmt.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-07

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2019-12-06 23:45 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
die Voraussetzung $a_k\neq0$ gilt nur für Euler, nicht aber für Hadamard.

Und auch dort gilt sie nicht für alle $k$, sondern nur für fast alle (d.h. für alle $k\ge K$ mit einem geeigneten $K$). Über nur endliche viele "Problemfälle" muss man sich also überhaupt keine Gedanken machen.
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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Hallo, danke für die Antworten, das sind schonmal hilfreiche Informationen.

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Liebe Grüße



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-07

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Die Idee ist genau richtig. Nur am Schluss beim Lösen der Ungleichung ist dir ein Fehler unterlaufen: aus $z^2<R$ nicht $z<\pm\sqrt R$, sondern $\vert z\vert<\sqrt R$. Außerdem ist nur dann $\vert z^2\vert=z^2$, wenn $z$ reell ist. Aber $z$ steht meistens für eine komplexe Zahl, ich gehe also davon aus, dass ihr im Komplexen rechnet. In dem Fall solltest du den Zwischenschritt zu $z^2<R$ durch $\vert z\vert^2<R$ ersetzen.
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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


@Vercassivelaunos das macht Sinn, ja wir rechnen im Komplexen :) Ich danke euch vielmals für die tolle Hilfe und wünsche noch einen schönen Tag!


Liebe Grüße



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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-08

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Hier hast du leider das Problem, dass $z^k$ von $k$ abhängt. Deine Hilfsvariable darf aber nicht vom Laufindex abhängen, denn der ist ja außerhalb der Summe nicht fest.
Wenn ihr den Limes Superior noch nicht hattet, wird es hier schwierig, Euler oder Hadamard anzuwenden. Da würde ich einen anderen Weg vorschlagen: Für den Konvergenzradius einer Potenzreihe gilt ja, dass die Reihe absolut konvergiert, wenn $\vert z\vert<R$, und divergiert, wenn $\vert z\vert>R$. Wenn du ein $z$ findet, für das die Reihe divergiert, dann ist also schonmal $R\leq\vert z\vert$ bekannt. Wenn du außerdem $z$ findest, sodass die Reihe konvergiert, dann ist $R\geq\vert z\vert$ bekannt.
Häufig bieten sich zum Ausprobieren reelle Zahlen an. Überprüfe mal, was passiert, wenn du verschiedene $z\in\R^+$ einsetzt.
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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Hallo Vercassivelaunos, danke für die Antwort.

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Das $k^2$ im Exponenten macht tatsächlich nichts. Nachweisen kannst du das über die bekannten Kriterien für Reihenkonvergenz (die, die nicht speziell für Potenzreihen gedacht sind).
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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Alles klar, ich danke dir vielmals, du hast mir sehr geholfen!

Liebe Grüße



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