Die Mathe-Redaktion - 17.01.2020 22:23 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAward-Abstimmung ab 1.1.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 467 Gäste und 18 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » kanonische Einbettung
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J kanonische Einbettung
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-07


Hallo,
Ich betrachte einen normierten Raum\(X\).
Man kann zeigen, dass sein (topologischer) Dualraum \(X ′\)  ein Banachraum ist. Jetzt soll dessen Dualraum \( ( X ′ ) ′ \) betrachtet werden

Durch die Abbildungsvorschrift \(X \to X'', x \mapsto [x' \mapsto x'(x)]\) wird eine stetige lineare Isometrie definiert.

Wie ist das genau zu verstehen?
Wird ein Element aus x aus  X auf sein Funktional abgebildet und dann wieder an der Stelle x ausgwertet?
Habt ihr vllt ein Beispiel für diese Einbettung?
Warum steht der hintere Teil der Abbildung in eckigen Klammern?



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07


2019-12-07 11:02 - Sebastian142 im Themenstart schreibt:
Wird ein Element aus x aus  X auf sein Funktional abgebildet

Es gibt zu einem $x$ nicht "sein" Funktional. $x'$ ist einfach irgendein Element aus $X'$.

2019-12-07 11:02 - Sebastian142 im Themenstart schreibt:
Warum steht der hintere Teil der Abbildung in eckigen Klammern?

Um deutlich zu machen, das der gesamte Klammerinhalt das Bild von $x$ ist. Und dieser Klammerinhalt ist eine Abbildung, die ein Element $x'\in X'$ auf die Zahl $x'(x)$ abbildet.

--zippy



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Wie hängen dann egtl x und x' bzgl der 1. Abbildung zusammen?
Bei der 2. Abbildung ist es klar, da das Funktional an der Stelle x ausgwertet wird.

Gibt es vllt ein Beispiel zum einfacheren Verständnis?



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-07


2019-12-07 11:15 - Sebastian142 in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie hängen dann egtl x und x' bzgl der 1. Abbildung zusammen?

Nochmal: $x$ und $x'$ hängen überhaupt nicht zusammen. Du kannst das Element von $X'$ irgendwie nennen. Hier mal ein Versuch ohne diese Verwirrung stiftende Bezeichnung:

Für ein $x\in X$ kann man eine Abbildung $w_x\colon X'\to K$ definieren ($K$ bezeichnet deinen Skalar-Körper, also $\mathbb R$ oder $\mathbb C$), indem man ein $u\in X'$ auf $w_x(u):=u(x)$  abbildet.

$w_x$ ist die Abbildung, die in deinem Startbeitrag in der eckigen Klammer steht: $w_x=\bigl[u\mapsto u(x)\bigr]$

Offensichtlich ist die Abbildung $w_x$ linear und wegen $|w_x(u)|=|u(x)|\le\|u\|\cdot\|x\|$ auch stetig. Also ist $w_x\in X''$.

Daher kann man eine Abbildung $X\to X''$ definieren, indem man $x$ auf $w_x$ abbildet.

2019-12-07 11:15 - Sebastian142 in Beitrag No. 2 schreibt:
Gibt es vllt ein Beispiel zum einfacheren Verständnis?

Ein Beispiel lenkt hier eigentlich nur vom Kern ab.



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Ich verstehe immer noch nicht denn Sinn und Zweck der 1. Abbildung von x.
Die Abbildung \(w_x\) braucht ein lineare Funktional aus X' und eine Auswertungsstelle x für das lineare Funktional.

Was macht dann die Abbildung von X nach X'. Die Abbildung macht doch mit einem Element einfach nichts?



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-07


2019-12-07 16:33 - Sebastian142 in Beitrag No. 4 schreibt:
Was macht dann die Abbildung von X nach X'.

Nirgendwo taucht hier eine Abbildung von $X$ nach $X'$ auf.

Was hältst du denn für so eine Abbildung?

Was hier auftaucht, sind die folgenden Abbildungen:
1. Für jedes $x\in X$ eine Abbildung $w_x\colon X'\to K$, und es ist $w_x\in X''$.
2. Eine Abbildung $X\to X''$, $x\mapsto w_x$.



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Tut mir leid für die späte Antwort.

Warum ist \(w_x \in X'' \)
u ist doch in X'.
Dann wird es doch an der Stelle x ausgwertet. Warum  sollte dann u(x) in X'' sein?



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 00:24 - Sebastian142 in Beitrag No. 6 schreibt:
u ist doch in X'.

So ist es.

2019-12-08 00:24 - Sebastian142 in Beitrag No. 6 schreibt:
Dann wird es doch an der Stelle x ausgwertet.

Auch das ist richtig.

Und dieses "nimm ein $u$ und werte es an der Stelle $x$ aus" ist genau das, was die Abbildung $w_x$ macht.

2019-12-08 00:24 - Sebastian142 in Beitrag No. 6 schreibt:
Warum  sollte dann u(x) in X'' sein?

$u(x)$ ist eine Zahl aus $K$, also ganz sicher kein Element von $X''$.

Kann es sein, dass du Probleme hast, zwischen Funktionen und ihren Werten sauber zu unterscheiden?

* $w_x$ ist eine Funktion (und zwar von $X'$ nach $K$).
* $w_x(u)=u(x)$ ist der Wert aus $K$, den diese Funktion dem Element $u\in X'$ zuordnet.
* Das Element von $X''$ ist die Funktion $w_x$ höchstselbst, nicht der Wert $w_x(u)=u(x)$.



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4248
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-08


Vielleicht kann es auch helfen, erst einmal den ganzen funktionalanalytischen Balast abzuwerfen und sich die folgende mengentheoretische Konstruktion zu überlegen:

Seien $X,Y$ zwei Mengen. Mit $\mathrm{Abb}(X,Y)$ bezeichnen wir die Menge der Abbildungen von $X$ nach $Y$. Dann hat man eine kanonische Abbildung

$\iota : X \to \mathrm{Abb}(\mathrm{Abb}(X,Y),Y).$

Für $x \in X$ definiert man hierbei $\iota(x) : \mathrm{Abb}(X,Y) \to Y$ durch $\iota(x)(f) := f(x)$ für $f \in \mathrm{Abb}(X,Y)$. Man kann diese Definition auch aufschreiben als $\iota(x) = (f \mapsto f(x))$.

Die Schwierigkeit, hier den Überblick zu behalten, ist im Prinzip, dass wir hier $f$ (und gleichwohl $\iota(x)$) sowohl als Abbildung als auch als Element einer Menge sehen müssen. Das setzt etwas Abstraktionsvermögen voraus.

Eine gute Übungsaufgabe ist, sich zu überlegen, dass $\iota$ injektiv ist, wenn $Y$ mindestens zwei Elemente hat. Was vielleicht auch ganz illustrativ ist, ist sich den Spezialfall $Y=\{0,1\}$ genauer anzuschauen und die Identifikation $\mathrm{Abb}(X,\{0,1\}) \cong P(X)$ (Potenzmenge) vorzunehmen. Die Abbildung $\iota$ identifiziert sich dann mit der Abbildung

$\iota : X \to P(P(X)),\quad x \mapsto \{A \in P(X) : x \in A\}.$
 
Wenn nun $X$ ein normierter Raum über $\IK$ ist, nimmt man oben $Y=\IK$ und betrachtet nicht sämtliche Abbildungen $X \to Y$, sondern nur die stetigen linearen Abbildungen. Die Konstruktion ist aber ansonsten dieselbe.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 00:41 - zippy in Beitrag No. 7 schreibt:

* Das Element von $X''$ ist die Funktion $w_x$ höchstselbst, nicht der Wert $w_x(u)=u(x)$.

Der Dualraum X'' zu X' enthält doch lineare Funktionale von X' in den zugrundeliegenden Körper. Jedoch sind die Urbildelemente sozusagen wieder lineare Funktionale (diesmal aus X') , die \(w_x\) nach K abbildet.



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 12:03 - Sebastian142 in Beitrag No. 9 schreibt:
Der Dualraum X'' zu X' enthält doch lineare Funktionale von X' in den zugrundeliegenden Körper.

Richtig. Also Abbildungen von $X'$ nach $K$. Und $w_x$ ist so eine Abbildung.

2019-12-08 12:03 - Sebastian142 in Beitrag No. 9 schreibt:
Jedoch sind die Urbildelemente sozusagen wieder lineare Funktionale (diesmal aus X') , die \(w_x\) nach K abbildet.

Auch richtig. Und dass die Urbildelemente lineare Funktionale sind, ermöglicht es einem, $w_x$ durch $w_x(u):=u(x)$ zu definieren.



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Ich habe doch noch ein Problem:

X'=Hom(X,K), d.h hier werden Funktionale aus X' genommen, die ein Element aus X auf den Körper K bilden.
Was ist dann egtl der Unterschied zu X''. Hier wird doch mit \(w_x\) das gleiche gemacht: Man nehme ein Element aus X' und bilde ein x aus X mit einem Funktional \(u \in X'\) auf K ab?



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 13:49 - Sebastian142 in Beitrag No. 11 schreibt:
X'=Hom(X,K), d.h hier werden Funktionale aus X' genommen, die ein Element aus X auf den Körper K bilden.

Richtig: Ein Element aus $X'$ ist eine Abildung $X\to K$.

2019-12-08 13:49 - Sebastian142 in Beitrag No. 11 schreibt:
Was ist dann egtl der Unterschied zu X''. Hier wird doch mit \(w_x\) das gleiche gemacht: Man nehme ein Element aus X' und bilde ein x aus X mit einem Funktional \(u \in X'\) auf K ab?

Du musst die Rollen von $x$ und $u$ in $w_x(u)$ auseinanderhalten:
* Wir haben einmal die Funktion $X\to X''$, $x\mapsto w_x$. Argument dieser Funktion ist das $x$.
* Ein Bild dieser Funktion, also ein $w_x$, ist selbst wieder eine Funktion, nämlich eine Funktion $X'\to K$. Argument ist hier das $u$.

Du könntest auch, für ein festes $u$, die Funktion $x\mapsto w_x(u)$ betrachten. Diese Funktion ist tatsächlich ein Element von $X'$. Aber das ist eine anderen Funktion als $w_x$.

Ganz allgemein gilt: Wenn du, wie hier, irgendeinen Ausdruck $A(x,u)$ hast, der von zwei Objekten abhängt, kannst du verschiedene Funktionen damit basteln:
1. Man wählt ein festes $x$ und betrachtet die Funktion $u\mapsto A(x,u)$.
2. Man wählt ein festes $u$ und betrachtet die Funktion $x\mapsto A(x,u)$.
3. Man betrachtet die Funktion $u\mapsto\bigr[x\mapsto A(x,u)\bigl]$.
4. Man betrachtet die Funktion $x\mapsto\bigr[u\mapsto A(x,u)\bigl]$.

Versuch dir mal klarzumachen, was der Unterschied dieser vier Funktionen ist.



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 16:22 - zippy in Beitrag No. 12 schreibt:

Du musst die Rollen von $x$ und $u$ in $w_x(u)$ auseinanderhalten:
* Wir haben einmal die Funktion $X\to X''$, $x\mapsto w_x$. Argument dieser Funktion ist das $x$.
* Ein Bild dieser Funktion, also ein $w_x$, ist selbst wieder eine Funktion, nämlich eine Funktion $X'\to K$. Argument ist hier das $u$.

Du könntest auch, für ein festes $u$, die Funktion $x\mapsto w_x(u)$ betrachten. Diese Funktion ist tatsächlich ein Element von $X'$. Aber das ist eine anderen Funktion als $w_x$.



Wenn man die Funktion \(w_x\) betrachet, dann erhält man für eine festes u aus X' eine feste  Funktion, die nur von der Stelle, also der Urbildmenge abhängt. Da X' alle solchen linearen Funktionen nach K enthält, muss dann \(w_x(u)\) im Dualraum zu X liegen.

Im anderen Fall  ist die Funktion ja nicht "fest bestimmt".
x wird auf  \(w_x\) abgebildet,das als Funktion als Urbildmenge  ein beliebiges lineare Funktional aus X' nimmt und das dann nach K abbildet.
Um nach X'' zu kommen, braucht man also eine Abbildung auf eine Funktionn, die dann über X' als Urbildmenge in K geht.

Es handelt sich also um so eine Abbildungsstruktur wie in den Beispielen 3 und 4 oder?



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 19:16 - Sebastian142 in Beitrag No. 13 schreibt:
Es handelt sich also um so eine Abbildungsstruktur wie in den Beispielen 3 und 4 oder?

Ja: Für $A(x,u)=w_x(u)=u(x)$ ist ...

4. $x\mapsto\bigr[u\mapsto u(x)\bigl]$ die Abbildung $X\to X''$, um die es in der Aufgabe geht, und

3. $u\mapsto\bigr[x\mapsto u(x)\bigl]$ eine umständliche Art, die Identität $\operatorname{id}\colon X'\to X'$ zu schreiben.



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Alles klar vielen Dank:) Jetzt habe ich die Strukturen verstanden:)

Bzgl des Dualraums habe ich noch eine Frage zu einem Beispiel:

Man betrachet ein Stützfunktional x* aus einem Hilbertraum \(\mathbb{H}\) zur Menge \(A \subset \mathbb{H} \) in \(x \in A\), wenn gilt:
\(\forall y \in A: <x*,x> \geq <x*,y> \)

Dabei ist die Stützfunktionalabbildung gegeben durch: \(f_A: A \rightarrow \mathbb{H}  \)

Warum gilt dann:  \(x_1* \in f_A(x_1) \subset \mathbb{H} \) Oder ist wegen der Isomorphie das Hilbertraumes zu seinem Dualraum die Schreibweise so legitim?



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-12-08


2019-12-08 20:01 - Sebastian142 in Beitrag No. 15 schreibt:
Warum gilt dann:  \(x_1* \in f_A(x_1) \subset \mathbb{H} \) Oder ist wegen der Isomorphie das Hilbertraumes zu seinem Dualraum die Schreibweise so legitim?

Genau so ist es: Ein Stützfunktional ist erstmal ein Element des Dualraums. Das sieht man z.B. an dieser Definition, die sich nicht auf Hilberträume beschränkt:



Uns für Hilberträume identifiziert man $\mathbb H'$ mit $\mathbb H$ über das Skalarprodukt.



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Vielen DAank für deine Antwort.

Zur Notation: Warum schreibt man  \(x_1* \in f_A(x_1) \)
Reicht nicht \(x_1* \in f_A\). Es geht doch egtl nur um ein Element in Dualraum.



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 854
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-12-09


2019-12-09 08:13 - Sebastian142 in Beitrag No. 17 schreibt:
Warum schreibt man  \(x_1* \in f_A(x_1) \)
Reicht nicht \(x_1* \in f_A\).

Ich kenne eure Notation nicht, aber ich vermute, dass $f_A(x)$ die Menge aller Stützfunktionale von $A$ im Punkt $x$ bezeichnet.

Dann ist $x_1^*\in f_A(x)$ sinnvoll (und bedeutet, dass $x_1^*$ ein Stützfunktional von $A$ im Punkt $x$ ist), $x_1^*\in f_A$ aber nicht (denn $f_A$ ist eine Funktion, keine Menge von Funktionalen).



Wahlurne Für zippy bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Tut mir leid. Ich konnte nicht eher antworten.
Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe. Jetzt ist mir alles klar:)
Nochmals herzlichen Dank:)



Wahlurne Für Sebastian142 bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sebastian142 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sebastian142 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Sebastian142 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]