Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Zusammenhang und Stetigkeit
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Zusammenhang und Stetigkeit
BlakkCube
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.02.2010
Mitteilungen: 597
Aus: Potsdam
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-07


Hallo in die Runde,

ich bin gestern Abend beim Nachdenken über stetige Abbildungen und Zusammenhang auf folgende Frage gestoßen:

Seien X,Y metrische Räume, \(f:X\longrightarrow Y \) eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass für jede zusammenhängende Menge \(E\subseteq X\) auch \(f(E)\subseteq Y\) zusammenhängend ist. (Ich nenne das mal zusammenhangserhaltend oder kurz zhe.)

Offensichtlich gilt: f stetig \(\Longrightarrow\) f ist zhe.

Mich interessiert nun die Umkehrung bzw. ein Gegenbeispiel.

Da ich noch nicht von der Umkehrung gehört habe, habe ich bisher an einem Gegenbeispiel versucht.

Mein erster Ansatzpunkt ist hierbei:\[f:[0,\infty)\longrightarrow [0,\infty)\] mit \(f(x)=1/x\) für \(x>0\) und \(f(0)=0\).

Hier ist f aber noch nicht zhe. Es ist zwar \(f([0,\infty))=[0,\infty)\) zusammenhängend, aber schon \(f([0,1])=\{0\}\cup[1,\infty)\) ist es nicht mehr.

Wie kann man die Unstetigkeitsstelle geschickter wählen? (Oder hat jemand eine Idee, wie man die Umkehrung der obigen Implikation beweisen könnte?)

Gruß BlakkCube


-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4708
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07


Sei $X$ ein metrisierbarer total unzusammenhängender Raum (zum Beispiel die Cantormenge), also jede zusammenhängende Teilmenge hat nur ein Element. Dann ist trivialerweise jede Abbildung $X \to X$ zusammenhangserhaltend, aber sie ist nicht unbedingt stetig.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6237
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-07


Hallo BlakkCube,

beschränkt man sich bei X und Y auf \(\IR\) mit der üblichen Metrik, so müsste zhe genau die Zwischenwerteigenschaft beschreiben, wenn ich mich jetzt nicht täusche. Es gibt jedoch Funktionen mit Zwischenwerteigenschaft, die nicht stetig sind.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
BlakkCube
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.02.2010
Mitteilungen: 597
Aus: Potsdam
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Vielen lieben Dank für Eure Antworten.

Dank Triceratops habe ich nun erstmal mein Gegenbeispiel, wenn man auf der Cantormenge \(C\subseteq [0,1]\) die Abbildung \(f:C\longrightarrow C\) mit f(x)=1 für x rational und f(x)=0 für x irrational nimmt.

Über den Fall \(X=\mathbb{R}\) oder allgemein X zusammenhängend werde ich mal noch ein bisschen nachgrübeln.


-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4708
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-08


Hier ein Beispiel für eine unstetige zusammenhangserhaltende Abbildung $f : \IR \to \IR$.
 

$f(x) := \sin(1/x)$ für $x \neq 0$ und $f(0) := 1$.

Für eine ganze Reihe von Beispielen, die nirgendwo stetig sind, siehe:
 
-
-
 


Es gilt übrigens: Eine injektive zusammenhangserhaltende Abbildung $\IR \to \IR$ ist bereits stetig:







Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
BlakkCube
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.02.2010
Mitteilungen: 597
Aus: Potsdam
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Ich bin auf ein ähnliches Beispiel mit sin(1/x) gekommen. (In Anlehnung an den metrischen Raum \(\{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}\cup\{(x,\sin (1/x))\mid x\in (0,1]\} \subseteq\mathbb{R}^2\), der bekanntlich zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist.)

Vielen Dank für die Links.



-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
BlakkCube hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
BlakkCube hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]