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Funktionentheorie » Integration » Integral über disjunkte Kreise einer Resolventen
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Universität/Hochschule Integral über disjunkte Kreise einer Resolventen
Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-07


Hallo,

als $\mathbb{P}_j$ definieren wir

wobei $R$ die Resolvente, also $(zI-A)^{-1}$ ist. Dabei ist $C_{\epsilon}(\lambda_j)$ der Kreis um den j-ten Eigenwert $\lambda_j$ von $A$ mit Radius $\epsilon$, wobei $\epsilon$ so klein gewählt ist, dass man um jeden Eigenwert von $A$ einen solchen Kreis bilden kann, bei denen alle Kreise disjunkt sind.

Jetzt will ich zeigen, dass $\mathbb{P}_j\mathbb{P}_j=\mathbb{P}_j$ und für $j \neq k$: $\mathbb{P}_j\mathbb{P}_k=0$.
Das Integral sieht ja so aus $\mathbb{P}_j=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}R(\epsilon e^{i\theta})\epsilon ie^{i\theta} d\theta$.
Also haben wir
$\mathbb{P}_j\mathbb{P}_k=-\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi}R(\epsilon e^{i\theta})R(\tilde{\epsilon} e^{i\theta}) \tilde{\epsilon} \epsilon i^2e^{2i\theta} d\Theta=\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi}R(\epsilon e^{i\theta})R(\tilde{\epsilon} e^{i\theta}) \tilde{\epsilon} \epsilon e^{2i\theta} d\Theta$

Aber wie kommt man da auf $0$?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07


2019-12-07 20:56 - Nito1398 im Themenstart schreibt:
Also haben wir
$\mathbb{P}_j\mathbb{P}_k=-\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi}R(\epsilon e^{i\theta})R(\tilde{\epsilon} e^{i\theta}) \tilde{\epsilon} \epsilon i^2e^{2i\theta} d\Theta$

1. Du hast für beide Kreise den Mittelpunkt $0$ eingesetzt. Die Kreise sollten aber die Mittelpunkte $\lambda_i$ und $\lambda_k$ haben.

2. Wenn du zwei Integrale miteinander multiplizierst, hast du im ersten Schritt erstmal ein Doppelintegral.



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Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Also ist es so:

$\mathbb{P}_j\mathbb{P}_k=-\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}R(\lambda_j+\epsilon e^{i\theta})R(\lambda_k+\tilde{\epsilon} e^{i\theta}) \tilde{\epsilon} \epsilon i^2e^{2i\theta} d\theta d\theta$
$=\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}R(\lambda_j+\epsilon e^{i\theta})R(\lambda_k+\tilde{\epsilon} e^{i\theta}) \tilde{\epsilon} \epsilon e^{2i\theta} d\theta d\theta $

Was kann ich damit jetzt machen?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-07


Hier kannst du zur Resolventengleichung greifen.

(Übrigens ist es keine gute Idee, die beiden unterschiedlichen Integrationsvariablen beide $\theta$ zu nennen.)



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Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Ah. Die kannte ich gar nicht. Ist das da nicht unnötig, dass ich dort $\lambda+\epsilon e^{i\theta}$ eingesetzt habe?

Kann ich nicht so argumentieren:
$\mathbb{P}_j\mathbb{P}_i=-\frac{1}{4\pi^2} \int_{C_j}\int_{C_k}R(\lambda_j)R(\lambda_k)d\lambda_j d\lambda_k$
$=-\frac{1}{4\pi^2} \int_{C_k}\int_{C_j}\frac{1}{\lambda_j-\lambda_k}(R(\lambda_j)-R(\lambda_k))d\lambda_jd\lambda_k$
$=-\frac{1}{4\pi^2} \int_{C_j}\frac{1}{\lambda_j-\lambda_k}(R(\lambda_j))-\int_{C_k}\frac{1}{\lambda_j-\lambda_k}(R(\lambda_k))$
wobei die beiden Integrale $0$ sind, weil der jeweilige Eigenwert nicht in dem Kreis, über den integriert wird enthalten ist?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-08


Im Schritt von der vorletzten zur letzten Zeile (in dieser Zeile fehlen übrigens die $\mathrm d\lambda$) scheint eine Integration weggefallen zu sein. Der sagst aber nicht, warum.

Vielleicht wirfst du zur Inspiration mal einen Blick in diesen Beweis eines etwas allgemeineren Sachverhalts. (Du kommst von da zu deiner Fragestellung, indem du Funktionen $f_i$ betrachtest, die an der Stelle $\lambda_i$ den Wert $1$ annehmen und außerhalb von $C_\epsilon(\lambda_i)$ verschwinden.)



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Nito1398
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


$\mathbb{P}_j\mathbb{P}_i=-\frac{1}{4\pi^2} \int_{C_j}\int_{C_k}R(\lambda_j)R(\lambda_k)d\lambda_j d\lambda_k$
$=-\frac{1}{4\pi^2} \int_{C_k}\int_{C_j}\frac{1}{\lambda_j-\lambda_k}(R(\lambda_j)-R(\lambda_k))d\lambda_jd\lambda_k$
$=-\frac{1}{4\pi^2} (\int_{C_k}\int_{C_j}\frac{1}{\lambda_j-\lambda_k}(R(\lambda_j))d\lambda_jd\lambda_k-\int_{C_k}\int_{C_j}\frac{1}{\lambda_j-\lambda_k}(R(\lambda_k))d\lambda_jd\lambda_k)$

Hier liegt $\lambda_k$ ja außerhalb von $C_j$. Sind dann nicht deshalb die beiden inneren Integrale des Doppelintegrals $0$?



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