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Analysis » Funktionen » Monotonie oder Beschränktheit einer Funktion ohne Ableitung
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Universität/Hochschule Monotonie oder Beschränktheit einer Funktion ohne Ableitung
Peter43
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-08


Hallo,

ich soll die Monotonie oder Beschränktheit der Funktion x/(1+x)bestimmen. einmal für

a)D= [0,∞)

b)D= (−1,1]

und das ohne die Ableitung zu benutzen.

Habe vorher die Wertebreiche jeweils bestimmt und habe für
 a) W= 0;1

und
 
 b) W= -∞;0,5

raus.

Kann mir da jemand weiterhelfen.




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-08


Hallo,

fange mit der Monotonie an, indem du die Definition benutzt. Tipp: die Funktion ist überall streng monoton steigend.

Wenn du das gezeigt hast, brauchst du die Schranken nicht näher zu begründen.

Der Sinn der Aufgabe, also das in zwei Intervalle zu unterteilen, erschließt sich mir hier nicht so ganz. Sicher, dass du alles richtig wiedergegeben hast?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionen' von Diophant]



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Peter43
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Also der genaue Wortlaut der Frage ist "Untersuchen Sie die Funktion in beiden Fällen auf Monotonie und Beschränktheit. Begründen Sie Ihre Resultate, ohne auf Hilfsmittel aus der Differentialrechnung zu verweisen."

Danke schon mal du meinst die Definition das eine Funktion streng monoton wachsen ist, wenn f(x1)<f(x2) ist...ich guck mal, ob ich das hinbekomme.



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

sei \(x_1<x_2\). Eine Funktion heißt streng monoton steigend auf einem Intervall, auf dem dann \(f(x_1)<f(x_2)\) gilt. So viel der Vollständigkeit halber.

Ich gehe diese Nachweise immer so an, dass ich ein \(h>0\) einführe und dann \(x_2=x_1+h>x_1\) definiere.

Das klappt hier auch wunderbar. Und nochmal mein Tipp: betrachte die Monotonie für den gesamten oberen Teil des Definitionsbereichs, also auf \((-1,\infty)\). Dann ist die Angabe der Schranken nur noch Formsache (warum?).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Peter43
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Hallo,

Danke schon mal für die Tipps. Kannst du mir einmal sagen, warum du dieses h benutzt. Das verstehe ich nicht ganz. Habe zwar im Internet eine Beispielaufgabe gefunden, wo das so gemacht wird, wie du gesgat hast, aber ich verstehe leider nicht warum das so gemacht wird, bzw. warum ich das h benutze.

Besten Dank schonmal.



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-09

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

also, wir untersuchen das Monotonieverhalten der Funktion \(f:\ (-1;\infty)\to\IR\) mit \(f(x)=\frac{x}{1+x}\).

Nach Definition ist eine Funktion streng monoton steigend, wenn für zwei Stellen \(x_1\), \(x_2\) mit \(x_1<x_2\) stets \(f(x_1)<f(x_2)\) gilt. Nun ist aber

\[f(x_1)<f(x_2)\quad\Leftrightarrow\quad f(x_2)-f(x_1)>0\]
Also betrachte ich fortan die obige Differenz \(f(x_2)-f(x_1)\), um nachzuweisen, dass sie strikt positiv ist.

Seien nun \(h>0\) und \(x_2=x_1+h>x_1\). Dann haben wir:

\[\ba
f(x_2)-f(x_1)&=f(x_1+h)-f(x_1)\\
\\
&=\frac{x_1+h}{x_1+h+1}-\frac{x_1}{x_1+1}\\
\\
&=\dotsc
\ea\]
Fasse nun die Differenz der beiden obigen Bruchterme zusammen, dann steht das gewünschte sofort da (wobei man sich klarmachen muss, dass es unter dem Bruchstrich nicht zu Vorzeichenwechseln kommen kann, solange wir uns im Intervall \((-1;\infty)\) bewegen).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Peter43
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Also habe jetztdas mal zusammengefasst und bekomme
h/(x+1)(x+h+1) raus. Aber wie ich das interpretieren kann, weiß ich auch gerade nicht.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-09


Hallo,

begründe, weshalb der Term positiv ist.


Gruß, Diophant



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Peter43
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Dabei seit: 23.11.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Hm reicht das als Begründung, dass dadurch das der Term psoitiv ist, es eine streng monotone Steigung ist?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-09

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-12-09 15:09 - Peter43 in Beitrag No. 8 schreibt:
Hm reicht das als Begründung, dass dadurch das der Term psoitiv ist, es eine streng monotone Steigung ist?

es steht alles in Beitrag #5. Was haben wir denn ausgerechnet, für was steht denn dieser Term?

Und warum er positiv ist, diese Erklärung bist du jetzt auch schuldig geblieben. Obwohl an der Uni wohl ein Hinweis auf den betrachteten Definitionsbereich ausreichen sollte, solltest du doch verstehen, warum daraus per definitionem die Tatsache folgt, dass \(f\) streng monoton steigt.

Bitte lies dir also Beitrag #5 nochmals gründlich durch und frage nach, wenn du etwas nicht verstehst. Aber bitte konkret, zu einzelnen Schritten.

Nachtrag: ich habe in Beitrag #5 einen Fehler gemacht, indem ich nach Einsetzen in den Funktionsterm nicht mehr \(x_1\) sondern (aus Versehen) nur noch \(x\) geschrieben habe. Das ist jetzt ausgebessert. Vielleicht hilft dir das ja, die Sache besser zu verstehen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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