Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Taylorentwicklungen » Potenzreihenentwicklung von (2z-3)/(z-2)^2
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Potenzreihenentwicklung von (2z-3)/(z-2)^2
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-09


Hallo Leute, ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe und zwar soll ich die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion angeben und komme einfach nicht drauf:

fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4256
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

splitte das doch auf:

\[\frac{2z-3}{(z-2)^2}=\frac{2z-4}{(z-2)^2}+\frac{1}{(z-2)^2}=\frac{2}{z-2}+\frac{1}{(z-2)^2}\]

Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Folgen und Reihen' in Forum 'Taylorentwicklungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Hallo Diophant, danke für die Antwort!
Das hatte ich auch schon mal versucht, weiß aber dann nicht wie ich weiter machen soll, insbesondere mit dem Entwicklungspunkt, den muss ich ja irgendwie da verbauen und irgendwie muss dann ja eine potenzreihe dabei rauskommen.

Liebe Grüße



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4256
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

wie der Name Entwicklungspunkt ja schon nahe legt, sollte man jetzt die Potenzreihe um \(z_0=1\) entwickeln.  😄

Sprich: bilde jetzt für beide Summanden Potenzreihen der Form

\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}\left(z-z_0\right)^k\]
Der Vorteil im Aufsplitten des Funktionsterms liegt dabei darin, dass die Ableitungen a) einfacher werden und b) allgemein die k. Ableitung explizit dargestellt werden kann.

Es klappt halt leider nicht immer, dass man da mal eben eine geometrische Reihe aus dem Hut zaubert o.ä. Manchmal führt am Rechnen kein Weg vorbei.  😄


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Ah, ich vergaß zu erwähnen, dass ich keine Differentialrechnung verwenden darf, Sorry!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10827
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-09


Hallo Dreadwar,
willst Du die Potenzreihe oder nur die ersten paar Terme, wie sie in
LinkPotenzreihenentwicklung ohne Differentialrechnung
verlangt waren?

Servus,
Roland



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Hallo Roland, ich brauche nur die ersten vier Terme. Ich habe versucht durch umformen auf die geometrische Reihe zu kommen, die Entwicklung kommt aber leider nicht raus bei mir :/



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4256
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

dann wäre es jedenfalls gut, wenn du mal die Konzepte aufzählen könntest, die du verwenden darfst/sollst.

Man könnte natürlich folgendes machen:

\[\ba
\frac{2z-3}{(z-2)^2}&=\frac{2z-4}{(z-2)^2}+\frac{1}{(z-2)^2}\\
\\
&=\frac{2}{z-2}+\frac{1}{(z-2)^2}\\
\\
&=\frac{2}{(z-1)-1}+\frac{1}{\left((z-1)-1\right)^2}\\
\\
&=-\frac{2}{1-(z-1)}+\frac{1}{\left(1-(z-1)\right)}\cdot\frac{1}{\left(1-(z-1)\right)}\\
\ea\]
Jetzt hättest du mal als erstes eine geometrische Reihe, dann eine weitere (im Prinzip identische), jedoch quadriert. Auf dieses Quadrat könnte man das Cauchy-Produkt loslassen. Das sollte sich hier von den Koeffizienten her doch recht einfach gestalten (wenn ich nichts übersehe).

Jetzt sag aber nicht, dass das auch noch nicht dran war bzw. nicht benutzt werden darf. ;-)


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Hallo Diophant, das Cauchy Produkt darf ich benutzen, vielen Dank für den Tipp! ich probiere das mal aus und melde mich dann (hoffentlich) gleich mit dem richtigen Ergebnis zurück! Den Entwicklungspunkt setzt man dann später ein oder geht das auch direkt?





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4256
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

schau mal meine Umformungen an: ich habe dir den Entwicklungspunkt sozusagen auf dem Silbertablett serviert. Setze vielleicht mal zunächst \(w=z-1\), entwickle die Reihen nach \(w\) und substituiere dann zurück. Dann solltest du es sehen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4256
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-09


Hallo,

ich habe gerade nur für eine kurze Antwort Zeit:

Die Reihen mit w sind richtig.

Das Cauchy-Produkt ist falsch angewendet, das solltest du dir nochmals anschauen.

Und der Sinn der Übung besteht IMO darin, das ganze nachher wieder in eine Summe zu packen.


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Hallo Diophant,

fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4256
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-12-09


Hallo,

du hast da offensichtlich etwas noch nicht ganz verstanden, was das Faltungsprinzip angeht. Sprich: deine Koeffizienten beim Cauchy-Produkt sind falsch.

Schau dir das mal bei Wikipedia an, da ist es ganz gut erklärt.


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4256
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-12-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ja, jetzt ist es richtig. Wie gesagt, du könntest noch darüber nachdenken, das per Summenformel zusammenzufassen, da müsstest du noch einen passenden Term für die Koeffizienten finden. Der wäre ja aber linear in k, also eine leichte Übung.

Und merke dir den Reihengrenzwert \(\frac{1}{(1-z)^2}\) einmal, er kommt desöfteren vor.

Nimmt man die geometrische Reihe für \(|z|<1\), so hat man ja

\[\sum_{n=0}^{\infty}z^n=1+z+z^2+\dotsc=\frac{1}{1-z}\]
Die Ableitung dieses Grenzwerts nach z ist ja aber gerade

\[\frac{\on{d}}{\on{dz}}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}\]
Also, leiten wir doch die geometrische Reihe einmal ab, und erhalten:

\[\frac{\on{d}}{\on{dz}}\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\sum_{n=1}^{\infty}n z^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n=1+2z+3z^2+\dotsc=\frac{1}{(1-z)^2}\]
Dies noch als kleiner Nachtrag.

Wobei du das hier ja so nicht hättest verwenden dürfen, wenn ich dich richtig verstanden habe. Zur Kontrolle ist es dennoch nützlich.  😄


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Super ich danke dir vielmals! Könntest du mir vielleicht auch einen Tipp hierzu geben?

fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4256
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-12-10


Hallo,

ich würde dich bitten, dafür einen neuen Thread zu starten. Ad hoc fällt mir zu deiner Frage auch nichts ein, ich werde mal darüber nachdenken.  😄


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Okay alles klar, dann danke ich dir einmal mehr für die tolle Hilfe und wünsche noch einen schönen Abend!

Liebe Grüße



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dreadwar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dreadwar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]