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Mathematik » Stochastik und Statistik » Einfache Umformung mit Summen
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Universität/Hochschule J Einfache Umformung mit Summen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-09


Abend zusammen

Ich habe eine "triviale" Frage über Summen aber ich bin leider in meinen Manipulationen nicht sicher. Stimmt folgendes:

\(\sum_{k>n} p(1-p)^{k-1}=\sum_{k\geq n} p(1-p)^{k}=\sum_{k\geq0} p(1-p)^{k+n}=p(1-p)^n \sum_{k\geq0}(1-p)^{k}\)

Wobei natürlich \(k,n\in \mathbb{N}\) sind mit \(k>n\)

Vielen Dank für euere Hilfe und einen guten Abend

Math_user



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-09


Hallo, das erste Gleichheitszeichen stimmt nicht. Wie ist diese Rechnung motiviert?


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Stochastik und Statistik' von ochen]



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Guten Abend Ochen

Tut mir leid, natürlich ist ein Tippfehler eingeschliechen. Stimmt es nun? Es darum zu zeigen, dass \(\mathbb{P}(X>n)=(1-p)^n\), wobei \(n>=1\). Also ein Problem im Bereich der Wahrscheinlichkeit.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-09


Hi, ja, jetzt stimmt es. Deine Rechnung ist auch zielführend. Vielleicht wäre es einfacher gewesen, die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Es handelt sich bei der Verteilung um die geometrische Verteilung.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Genau es handelt sich um die geometrische Verteilung. Darf ich fragen, was  du mit Gegenwahrscheinlichkeit meinst?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-09


Es gilt $\mathbb{P}(X>n)=1-\mathbb{P}(X\leq n)$. Es genügt also $\mathbb{P}(X\leq n)$ zu berechnen. Dann geht es meiner Einschätzung nach etwas schneller. Es ist
\[\mathbb{P}(X\leq n) = p\cdot \sum_{k=0}^{n-1}(1-p)^k = p\cdot \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)}=  1-(1-p)^n.\]



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Du hast (natürlich) absolut recht und schneller ist es auch noch! Vielen Dank für den Hinweis :)



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