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  Endomorphismen und Spur |
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LineareAlgebruh
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Guten Abend liebe Community,
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich verstehe zwar so langsam die Begriffe, aber ich weiss mal wieder nicht, wie ich das zeigen könnte oder einfach wie man an diese Aufgabe rangehen kann. Tr(A) ist hierbei definiert als die Summe der Einträge auf der Diagonalen der diagonalisierten Matrix A (auch Spur genannt). Wie soll das gehen? Wie kann ich ansetzen? Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben?
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Triceratops
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-10
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Sei o.B.d.A. $V = K^n$. Dann hat $\mathrm{End}(V) = M_n(K)$ als Basis die $e_{ij}$ (Matrizen mit $1$ an der Stelle $(i,j)$, sonst $0$) mit $i,j=1,\dotsc,n$. Überlege dir allgemein, wie das Produkt $e_{ij} e_{pq}$ als Linearkombination* in dieser Basis aussieht.
Weil $f : M_n(K) \to K$ linear ist, ist $f$ vollständig durch die Werte $ f(e_{ij})$ festgelegt. Das Ziel ist, $f(e_{ij})=0$ für $i \neq j$ zu zeigen, und dass $f(e_{ii})$ nicht von $i$ abhängt. Denn wenn dann $\lambda:=f(e_{11})$, folgt $f=\lambda \cdot \mathrm{Tr}$.
Die vorausgesetzte Bedingung an $f$ ist äquivalent dazu, dass $f(e_{ij} e_{pq}) = f(e_{pq} e_{ij})$ für je zwei Basismatrizen gilt. Schreibe diese Bedingung konkreter (mittels der $f(e_{ij})$) hin, indem du die Linearkombination von oben ausnutzt.
PS: Letztlich bediene ich mich wieder nur der Methode
 Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann
*Es ist vielleicht etwas übertrieben, von einer Linearkombination zu sprechen, weil das Produkt einfach entweder $0$ oder eine andere Basismatrix ist.
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LineareAlgebruh
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16
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\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\DeclareMathOperator{\rg}{rg} % Rang
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\def\e{\varepsilon}\)
Okay, ich muss leider zugeben, ich habe es noch nicht so wirklich verstanden, aber ich habe glaube ich einen Lösungsweg gefunden. Könntest du einmal drüber schauen und sagen, ob das so in Ordnung ist?
Also wir nehmen an, dass V = K^n ist, dann können wir uns eine Basis nehmen die aus diesen e_ij-Einheitsvektoren besteht. Schauen wir uns mal das Produkt von zweier solcher Vektoren an:
\(e_{ij}\cdot e_{kl} = \delta_{jk}\cdot e_{il}\)
Dabei ist delta das Kronecker-Delta. Man kann auch einen Einheitsvektor schreiben als:
\(e_{ij} = e_{ik}\cdot e_{kj}\)
Jetzt haut man das in die Abbildung:
\(f(e_{ij}) = f(e_{ik}\cdot e_{kj}) = f(e_{kj}\cdot e_{ik}) = f(\delta_{jk}\cdot e_{kk}) = \delta_{jk}\cdot f(e_{kk}) \)
Jetzt nimmt man sich eine nxn Matrix, nenne wir die mal A, und haut die in die Abbildung:
\(f(A) = f(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot e_{ij}) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot f(e_{ij}) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot \delta_{ij} \cdot f(e_{kk}) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ii}\cdot f(e_{kk}) = Tr(A)\cdot f(e_{kk}) \)
Ok, jetzt kann man einfach sagen: \(\lambda = f(e_{kk})\), wär das schon alles? Irgendwie war das zu einfach, was mache ich falsch?
\(\endgroup\)
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-16
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Die Gleichung $e_{ij} e_{kl} = \delta_{jk} e_{il}$ ist richtig.
In deiner Rechnung ist ein Fehler: Du schreibst zwar richtig $f(e_{ij})=\delta_{jk} f(e_{kk})$, in der Summe danach aber $f(e_{ij}) = \delta_{ij} f(e_{kk})$.
Du musst nicht mit allgemeinen Matrizen arbeiten. Zwei lineare Abb. sind gleich, wenn sie es auf einer Basis sind. Daher hatte ich auch das hier geschrieben:
Das Ziel ist, $f(e_{ij})=0$ für $i \neq j$ zu zeigen, und dass $f(e_{ii})$ nicht von $i$ abhängt. Denn wenn dann $\lambda:=f(e_{11})$, folgt $f=\lambda \cdot \mathrm{Tr}$.
Man zeigt, dass $f$ und $\lambda \cdot \mathrm{Tr}$ sich auf den Basismatrizen genauso verhalten.
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