| |
| Autor |
  Endomorphismen und Spur |
|
LineareAlgebruh
Aktiv 
Dabei seit: 25.10.2019
Mitteilungen: 67
Aus: Bonn
 |
Guten Abend liebe Community,
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich verstehe zwar so langsam die Begriffe, aber ich weiss mal wieder nicht, wie ich das zeigen könnte oder einfach wie man an diese Aufgabe rangehen kann. Tr(A) ist hierbei definiert als die Summe der Einträge auf der Diagonalen der diagonalisierten Matrix A (auch Spur genannt). Wie soll das gehen? Wie kann ich ansetzen? Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben?
|
 Notiz  Profil
 Quote
 Link |
Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-10
|
Sei o.B.d.A. $V = K^n$. Dann hat $\mathrm{End}(V) = M_n(K)$ als Basis die $e_{ij}$ (Matrizen mit $1$ an der Stelle $(i,j)$, sonst $0$) mit $i,j=1,\dotsc,n$. Überlege dir allgemein, wie das Produkt $e_{ij} e_{pq}$ als Linearkombination* in dieser Basis aussieht.
Weil $f : M_n(K) \to K$ linear ist, ist $f$ vollständig durch die Werte $ f(e_{ij})$ festgelegt. Das Ziel ist, $f(e_{ij})=0$ für $i \neq j$ zu zeigen, und dass $f(e_{ii})$ nicht von $i$ abhängt. Denn wenn dann $\lambda:=f(e_{11})$, folgt $f=\lambda \cdot \mathrm{Tr}$.
Die vorausgesetzte Bedingung an $f$ ist äquivalent dazu, dass $f(e_{ij} e_{pq}) = f(e_{pq} e_{ij})$ für je zwei Basismatrizen gilt. Schreibe diese Bedingung konkreter (mittels der $f(e_{ij})$) hin, indem du die Linearkombination von oben ausnutzt.
PS: Letztlich bediene ich mich wieder nur der Methode
article.php?sid=1805
*Es ist vielleicht etwas übertrieben, von einer Linearkombination zu sprechen, weil das Produkt einfach entweder $0$ oder eine andere Basismatrix ist.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
LineareAlgebruh
Aktiv
Dabei seit: 25.10.2019
Mitteilungen: 67
Aus: Bonn
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16
|
\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\bA}{\mathbb{A}}
\newcommand{\bB}{\mathbb{B}}
\newcommand{\bC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\bD}{\mathbb{D}}
\newcommand{\bE}{\mathbb{E}}
\newcommand{\bF}{\mathbb{F}}
\newcommand{\bG}{\mathbb{G}}
\newcommand{\bH}{\mathbb{H}}
\newcommand{\bI}{\mathbb{I}}
\newcommand{\bJ}{\mathbb{J}}
\newcommand{\bK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\bL}{\mathbb{L}}
\newcommand{\bM}{\mathbb{M}}
\newcommand{\bN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\bO}{\mathbb{O}}
\newcommand{\bP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bS}{\mathbb{S}}
\newcommand{\bT}{\mathbb{T}}
\newcommand{\bU}{\mathbb{U}}
\newcommand{\bV}{\mathbb{V}}
\newcommand{\bW}{\mathbb{W}}
\newcommand{\bX}{\mathbb{X}}
\newcommand{\bY}{\mathbb{Y}}
\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}
%%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
%%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\fA}{\mathfrak{A}}
\newcommand{\fB}{\mathfrak{B}}
\newcommand{\fC}{\mathfrak{C}}
\newcommand{\fD}{\mathfrak{D}}
\newcommand{\fE}{\mathfrak{E}}
\newcommand{\fF}{\mathfrak{F}}
\newcommand{\fG}{\mathfrak{G}}
\newcommand{\fH}{\mathfrak{H}}
\newcommand{\fI}{\mathfrak{I}}
\newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}}
\newcommand{\fK}{\mathfrak{K}}
\newcommand{\fL}{\mathfrak{L}}
\newcommand{\fM}{\mathfrak{M}}
\newcommand{\fN}{\mathfrak{N}}
\newcommand{\fO}{\mathfrak{O}}
\newcommand{\fP}{\mathfrak{P}}
\newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}}
\newcommand{\fR}{\mathfrak{R}}
\newcommand{\fS}{\mathfrak{S}}
\newcommand{\fT}{\mathfrak{T}}
\newcommand{\fU}{\mathfrak{U}}
\newcommand{\fV}{\mathfrak{V}}
\newcommand{\fW}{\mathfrak{W}}
\newcommand{\fX}{\mathfrak{X}}
\newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}}
\newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}}
%%%%%%%%%% Math operators %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\Id}{Id} % identity morphism
% \DeclareMathOperator{\ker}{ker} % kernel
\DeclareMathOperator{\rg}{rg} % Rang
\DeclareMathOperator{\defekt}{def} % Defekt
\DeclareMathOperator{\im}{im} % image
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} % homomorphisms
\DeclareMathOperator{\End}{End} % endomorphisms
\DeclareMathOperator{\Span}{Span} % linear span
%%%%%%%%%% Anderes Zeug :D %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\C{\mathbb{C}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\K{\mathbb{K}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\H{\mathbb{H}}
\def\e{\varepsilon}\)
Okay, ich muss leider zugeben, ich habe es noch nicht so wirklich verstanden, aber ich habe glaube ich einen Lösungsweg gefunden. Könntest du einmal drüber schauen und sagen, ob das so in Ordnung ist?
Also wir nehmen an, dass V = K^n ist, dann können wir uns eine Basis nehmen die aus diesen e_ij-Einheitsvektoren besteht. Schauen wir uns mal das Produkt von zweier solcher Vektoren an:
\(e_{ij}\cdot e_{kl} = \delta_{jk}\cdot e_{il}\)
Dabei ist delta das Kronecker-Delta. Man kann auch einen Einheitsvektor schreiben als:
\(e_{ij} = e_{ik}\cdot e_{kj}\)
Jetzt haut man das in die Abbildung:
\(f(e_{ij}) = f(e_{ik}\cdot e_{kj}) = f(e_{kj}\cdot e_{ik}) = f(\delta_{jk}\cdot e_{kk}) = \delta_{jk}\cdot f(e_{kk}) \)
Jetzt nimmt man sich eine nxn Matrix, nenne wir die mal A, und haut die in die Abbildung:
\(f(A) = f(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot e_{ij}) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot f(e_{ij}) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot \delta_{ij} \cdot f(e_{kk}) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ii}\cdot f(e_{kk}) = Tr(A)\cdot f(e_{kk}) \)
Ok, jetzt kann man einfach sagen: \(\lambda = f(e_{kk})\), wär das schon alles? Irgendwie war das zu einfach, was mache ich falsch?
\(\endgroup\)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-16
|
Die Gleichung $e_{ij} e_{kl} = \delta_{jk} e_{il}$ ist richtig.
In deiner Rechnung ist ein Fehler: Du schreibst zwar richtig $f(e_{ij})=\delta_{jk} f(e_{kk})$, in der Summe danach aber $f(e_{ij}) = \delta_{ij} f(e_{kk})$.
Du musst nicht mit allgemeinen Matrizen arbeiten. Zwei lineare Abb. sind gleich, wenn sie es auf einer Basis sind. Daher hatte ich auch das hier geschrieben:
Das Ziel ist, $f(e_{ij})=0$ für $i \neq j$ zu zeigen, und dass $f(e_{ii})$ nicht von $i$ abhängt. Denn wenn dann $\lambda:=f(e_{11})$, folgt $f=\lambda \cdot \mathrm{Tr}$.
Man zeigt, dass $f$ und $\lambda \cdot \mathrm{Tr}$ sich auf den Basismatrizen genauso verhalten.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
LineareAlgebruh hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LineareAlgebruh hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |  [Neues Thema]  [Druckversion] |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Home ohne Frame
2020-05-25 22:20 Bug <
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
