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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » f/(f) prim/irreduzibel?
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Universität/Hochschule J f/(f) prim/irreduzibel?
meloniton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-11


Hey smile ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
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Liebe Grüße  confused  razz  smile



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-11


Hallo meloniton,

ich glaube, du wendest das Eisensteinkriterium falsch an. Siehe dir nochmals die Definition (z.B. hier) an. Da wir ein Polynom vom Grad 3 haben, reicht es zu prüfen, ob das Polynom Nullstellen hat. Warum?


lg Wladimir



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meloniton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-11


2019-12-11 12:22 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo meloniton,

ich glaube, du wendest das Eisensteinkriterium falsch an. Siehe dir nochmals die Definition (z.B. hier) an. Da wir ein Polynom vom Grad 3 haben, reicht es zu prüfen, ob das Polynom Nullstellen hat. Warum?


lg Wladimir

oh vielen Dank :) ich werde mir das gleich mal genauer anschauen und dann nochmals meine Lösung hier hochladen :)



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-11

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2019-12-11 12:11 - meloniton im Themenstart schreibt:
Hey smile ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
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Liebe Grüße  confused  razz  smile
Hi,
das Eisenstein Kriterium kannst du zum Beispiel anwenden, wenn $x^3+3X+3$ gegeben ist. Hier hast du aber eine $1$ stehen. Schau dir das Kriterium nochmal an.
Es wird ja erstmal verlangt, dass alle Koeffizienten, außer dem Leitkoeffizienten durch ein Primelement teilbar sind. $1$ ist aber nicht durch eine Primzahl teilbar.
$(f)$ bezeichnet das von $f$ erzeugte Ideal. Es ist das kleinste Ideal welches $f$ enthält und hat die Form $(f)=f\pt R=\set{f\pt r}{r\in R}$, wo $R$ der entsprechende Ring (kommutativ und mit $1$) ist.
Gehe der folgenden Frage auf den Grund:
Was ist die Beziehung zwischen den Begriffen
$\bul$ $f$ ist prim,irreduzibel
und
$\bul$ $(f)$ ist ein Primideal, ein maximales Ideal.
Die Aussage "$(f)$ ist irreduzibel" macht keinen Sinn, da es sich bei $(f)$ um ein Ideal handelt.

Beachte dass $R/(f)$ genau dann ein Integritätsbereich(Körper) ist wenn $(f)$ prim (maximal) ist.

Es geht also darum sich
$R/(f)$ anzuschauen.

Oder du kannst alternativ - wie Wladimir geraten hat - nachprüfen, ob $f$ eine Nullstelle besitzt, was vielleicht einfacher ist.

Mach dir klar, dass ein Polynom vom Grad $3$ reduzibel ist, wenn es eine Nullstelle besitzt. Wenn $R$ ein Körper ist, dann gibt es keine irreduziblen konstanten Faktoren wie zum Beispiel bei $3x^2+3=3(x^2+1)$ und die Umkehrung gilt auch.
Was ich damit meine ist:
Egal in welchem Ring du dich befindest. Es gilt ja immer $3x^2+3=3(x^2+1)$.
Ob nun $3(x^2+1)$ reduzibel ist hängt aber wesentlich davon ab, ob $3$ ein Primelement ist oder nicht.
In $\Z$ ist das so, aber in $\Z/2$ das aber nicht der Fall, da das ein  Körper ist. Das bedeutet jedes von $0$ verschiedene Element ist eine Einheit und Einheiten sind nicht irreduzibel, per Definition.
Über $\Z/3$ ist dieses Polynom $=0$ und daher macht die Es keinen Sinn von Reduzibilität oder Irreduzibilität zu sprechen (Ich spreche von meinem Beispiel $3(x^2+1)$. Das Polynom aus deiner Aufgabe ist nicht $0$ über $\Z/3$).

 



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
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meloniton
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2019-12-11 12:33 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 3 schreibt:

Hi,
das Eisenstein Kriterium kannst du zum Beispiel anwenden, wenn $x^3+3X+3$ gegeben ist. Hier hast du aber eine $1$ stehen. Schau dir das Kriterium nochmal an.
Es wird ja erstmal verlangt, dass alle Koeffizienten, außer dem Leitkoeffizienten durch ein Primelement teilbar sind. $1$ ist aber nicht durch eine Primzahl teilbar.
$(f)$ bezeichnet das von $f$ erzeugte Ideal. Es ist das kleinste Ideal welches $f$ enthält und hat die Form $(f)=f\pt R=\set{f\pt r}{r\in R}$, wo $R$ der entsprechende Ring (kommutativ und mit $1$) ist.
Gehe der folgenden Frage auf den Grund:
Was ist die Beziehung zwischen den Begriffen
$\bul$ $f$ ist prim,irreduzibel
und
$\bul$ $(f)$ ist ein Primideal, ein maximales Ideal.
Die Aussage "$(f)$ ist irreduzibel" macht keinen Sinn, da es sich bei $(f)$ um ein Ideal handelt.

Beachte dass $R/(f)$ genau dann ein Integritätsbereich(Körper) ist wenn $(f)$ prim (maximal) ist.

Es geht also darum sich
$R/(f)$ anzuschauen.

Oder du kannst alternativ - wie Wladimir geraten hat - nachprüfen, ob $f$ eine Nullstelle besitzt, was vielleicht einfacher ist.

Mach dir klar, dass ein Polynom vom Grad $3$ reduzibel ist, wenn es eine Nullstelle besitzt. Wenn $R$ ein Körper ist, dann gibt es keine irreduziblen konstanten Faktoren wie zum Beispiel bei $3x^2+3=3(x^2+1)$ und die Umkehrung gilt auch.
Was ich damit meine ist:
Egal in welchem Ring du dich befindest. Es gilt ja immer $3x^2+3=3(x^2+1)$.
Ob nun $3(x^2+1)$ reduzibel ist hängt aber wesentlich davon ab, ob $3$ ein Primelement ist oder nicht.
In $\Z$ ist das so, aber in $\Z/2$ das aber nicht der Fall, da das ein  Körper ist. Das bedeutet jedes von $0$ verschiedene Element ist eine Einheit und Einheiten sind nicht irreduzibel, per Definition.
Über $\Z/3$ ist dieses Polynom $=0$ und daher macht die Es keinen Sinn von Reduzibilität oder Irreduzibilität zu sprechen (Ich spreche von meinem Beispiel $3(x^2+1)$. Das Polynom aus deiner Aufgabe ist nicht $0$ über $\Z/3$).

 



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Erstmal noch zu a) und zwar (i)
Ich habe jetzt erstmal durch einsetzen versucht, herauszufinden ob eine Nullstelle existiert. Da bin ich leider auf keine gekommen. Habe die Funktion dann mal geplottet, scheinbar gibt es eine Nullstelle bei x=-0,6832. Demnach wäre das Polynom reduzibel richtig? Ich frage mich nur gerade, wie ich dies herausfinden sollte, da man diese Nullstelle schlecht durch Einsetzten findet.

Weiterhin gilt: das Polynom ist prim, wenn gilt: p teilt a*b, so teilt p a und p b.
Wie soll ich das prüfen? Kann ich da beliebige Polynome suchen, für die das zutrifft?

Für b) muss ich mir nochmal genauer anschauen, was Ideal eigentlich genauer bedeutet, habe das bisher nicht so verstanden. Melde mich dann nochmal hier im Post.
LG smile smile
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-11


Hallo,

wichtig ist hier natürlich, ob die Nullstelle in \(\mathbb{Z}\) liegt. Z.B. haben alle nichtkonstanten Polynome Nullstellen in den komplexen Zahlen, das heißt aber natürlich nicht, dass sie alle über \(\mathbb{Z}\) reduzibel sind. Im Prinzip kannst du hier mit Miteln der Analysis 1 argumentieren. Das Polynom (als Funktion in \(\mathbb{R}\) ist streng monoton steigend, hat also genau eine reelle Nullstelle, wegen \(p(-1)<0\) und \(p(0)>0\) liegt die Nullstelle zwischen im Intervall \((-1,0)\) und ist damit keine ganze Zahl. Also ist das Polynom irreduzibel über \(\mathbb{Z}\). Bei den endlichen Körpern ist die Überlegung mit Nullstellen noch einfacher. Was die Primalität angeht, wisst ihr Bereits, dass irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen prim sind?


lg Wladimir



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meloniton
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2019-12-11 15:38 - wladimir_1989 in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,

wichtig ist hier natürlich, ob die Nullstelle in \(\mathbb{Z}\) liegt. Z.B. haben alle nichtkonstanten Polynome Nullstellen in den komplexen Zahlen, das heißt aber natürlich nicht, dass sie alle über \(\mathbb{Z}\) reduzibel sind. Im Prinzip kannst du hier mit Miteln der Analysis 1 argumentieren. Das Polynom (als Funktion in \(\mathbb{R}\) ist streng monoton steigend, hat also genau eine reelle Nullstelle, wegen \(p(-1)<0\) und \(p(0)>0\) liegt die Nullstelle zwischen im Intervall \((-1,0)\) und ist damit keine ganze Zahl. Also ist das Polynom irreduzibel über \(\mathbb{Z}\). Bei den endlichen Körpern ist die Überlegung mit Nullstellen noch einfacher. Was die Primalität angeht, wisst ihr Bereits, dass irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen prim sind?


lg Wladimir

Achso, stimmt die Nullstelle ist natürlich keine ganze Zahl. Aufgrund deines letzten Satzes schließe ich nun mal daraus, dass dieses Polynom ebenfalls prim ist, da Z ein faktorieller Ring ist ?

Kann ich in fed-Code einblenden
genauso vorgehen? Du meinst ja, dass die Argumentation mit den Nullstellen dort einfacher ist, nur leider weiß ich nicht wie confused



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wladimir_1989
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2019-12-11 16:21 - meloniton in Beitrag No. 6 schreibt:
Aufgrund deines letzten Satzes schließe ich nun mal daraus, dass dieses Polynom ebenfalls prim ist, da Z ein faktorieller Ring ist ?


Genau, die Frage ist nur, ob du diese Tatsache benutzen darfst.

2019-12-11 16:21 - meloniton in Beitrag No. 6 schreibt:

Kann ich in fed-Code einblenden
genauso vorgehen? Du meinst ja, dass die Argumentation mit den Nullstellen dort einfacher ist, nur leider weiß ich nicht wie :-?

Die Körper \(\mathbb{Z}_2\) und \(\mathbb{Z}_3\) haben nur 2 bzw. 3 Elemente. Wie prüft man also am einfachsten, ob gewisse Elemente Nullstellen sind?


lg Wladimir




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meloniton
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Hallo wladimir,


Genau, die Frage ist nur, ob du diese Tatsache benutzen darfst.

Ich würde jetzt mal sagen ja, aber ich kann es ehrlich gesagt nicht begründen.


Die Körper \(\mathbb{Z}_2\) und \(\mathbb{Z}_3\) haben nur 2 bzw. 3 Elemente. Wie prüft man also am einfachsten, ob gewisse Elemente Nullstellen sind?

Genau es gibt ja:
fed-Code einblenden
Ich hätte jetzt gedacht, dass wir schon aus den vorherigen Überlegungen, als wir Z betrachtet haben, wissen dass diese Elemente keine Nullstellen sein können. Oder nicht?
LG ! :))



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wladimir_1989
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2019-12-11 16:38 - meloniton in Beitrag No. 8 schreibt:
Hallo wladimir,


Genau, die Frage ist nur, ob du diese Tatsache benutzen darfst.

Ich würde jetzt mal sagen ja, aber ich kann es ehrlich gesagt nicht begründen.



habt ihr denn die Sätze:

1) irreduzibles Element im faktoriellen Ring prim.

2) Polynomring über faktoriellem Ring faktoriell.

gezeigt?

2019-12-11 16:38 - meloniton in Beitrag No. 8 schreibt:



Die Körper \(\mathbb{Z}_2\) und \(\mathbb{Z}_3\) haben nur 2 bzw. 3 Elemente. Wie prüft man also am einfachsten, ob gewisse Elemente Nullstellen sind?

Genau es gibt ja:
fed-Code einblenden
Ich hätte jetzt gedacht, dass wir schon aus den vorherigen Überlegungen, als wir Z betrachtet haben, wissen dass diese Elemente keine Nullstellen sein können. Oder nicht?
LG ! :))

das stimmt nicht, da \(\mathbb{Z}_2\) ja kein Teilring von \(\mathbb{Z}\) ist, da wir ja eine andere Addition und Multiplikation haben. Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass man durch Einsetzen der 2 bzw. 3 Elemente einfach ausprobieren kann, ob es Nullstellen gibt oder nicht!

lg Wladimir




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habt ihr denn die Sätze:

1) irreduzibles Element im faktoriellen Ring prim.

2) Polynomring über faktoriellem Ring faktoriell.

gezeigt?

1) haben wir in der Vorlesung gezeigt, 2) jedoch nicht ! smile



Die Körper \(\mathbb{Z}_2\) und \(\mathbb{Z}_3\) haben nur 2 bzw. 3 Elemente. Wie prüft man also

das stimmt nicht, da \(\mathbb{Z}_2\) ja kein Teilring von \(\mathbb{Z}\) ist, da wir ja eine andere Addition und Multiplikation haben. Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass man durch Einsetzen der 2 bzw. 3 Elemente einfach ausprobieren kann, ob es Nullstellen gibt oder nicht!

Ja stimmt.. eek
Hab das jetzt mal gemacht und habe raus das sowohl im fed-Code einblenden Nullstellen bei x=1 existieren. Damit sind beide Polynome reduzibel, richtig? :)



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wladimir_1989
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Hallo,

\(x=1\) ist eine Nullstelle in \(\mathbb{Z}_3\), aber keine in \(\mathbb{Z}_2\), denn \(1+1+1=1\) in \(\mathbb{Z}_2\)!

2019-12-11 17:16 - meloniton in Beitrag No. 10 schreibt:

1) haben wir in der Vorlesung gezeigt, 2) jedoch nicht ! :)




Habt ihr vielleicht das Lemma von Gauss bewiesen?


lg Wladimir



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2019-12-11 17:26 - wladimir_1989 in Beitrag No. 11 schreibt:
Hallo,

\(x=1\) ist eine Nullstelle in \(\mathbb{Z}_3\), aber keine in \(\mathbb{Z}_2\), denn \(1+1+1=1\) in \(\mathbb{Z}_2\)!


Oh ja in \(\mathbb{Z}_2\) ist die Nullstelle bei x=0, richtig? Finde das immer etwas verwirrend ;D Damit ist das Polynom reduzibel.

2019-12-11 17:16 - meloniton in Beitrag No. 10 schreibt:

1) haben wir in der Vorlesung gezeigt, 2) jedoch nicht ! smile




Habt ihr vielleicht das Lemma von Gauss bewiesen?


lg Wladimir

Leider auch nicht  confused



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-12-11


In \(\mathbb{Z}_2\) haben wir \(p(0)=1\). Das Polynom in \(\mathbb{Z}_2\) hat keine Nullstellen und ist irreduzibel.



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