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Mathematik » Stochastik und Statistik » Definition der Varianz kontraintuitiv ?
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Universität/Hochschule Definition der Varianz kontraintuitiv ?
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1030
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-11


Hallo allerseits,
bei der Definition der Varianz werden die Abstände vom Mittelwert quadriert.
Rein intuitiv würde ich die Abstände vom Mittelwerdie unverändert übernehmen (d.h. mit 1 potenzieren). Das wäre für mich intuitiver.

Statt die Abstände vom Mittelwert zu quadrieren, könnte man (mit dem gleichen Recht) auch die Wurzel davon ziehen oder sie zur Potenz 3 erheben oder irgend etwas anderes mit ihnen anstellen.


Fragen:
1)
Warum macht man das nicht ?

2)
Gibt es Untersuchnungen, wie alterbative Definitionen der Varianz die Stochastik verändern würde, d.h. wie sich das auf die ganzen Behauptungen und Sätze der Stochastik auswiken würde ?

mfg
cx



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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1267
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-11


Hallo carlox,


ich glaube, der wichtigste Punkt hier ist, dass wir eine positive Größe haben wollen, die man als Maß für die durchschnittliche Streuung interpretieren kann. Deswegen werden die Abweichungen quadriert. Natürlich könnte man auch z.B. die Beträge der Ableitungen oder eine beliebige gerade Potenz nehmen, in diesem Fall geht aber die Eigenschaft verloren, dass die Größe \(f(X)=\sum_{i=1}^n(X-X_i)^2\) gerade für \(X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) minimal wird.


lg WLadimir



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2736
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-11


Hallo zusammen,

ich kann es jetzt nicht belegen, aber hängt nicht die Varianz (auch historisch) eng mit dem Konzept bzw. der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zusammen?


Gruß, Diophant



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Vega
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.10.2004
Mitteilungen: 23
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-11


Hallo,

neben den genannten Gründen ist ein weiterer Grund glaube ich,
daß man mit Beträgen weniger gern rechnet (z.B. nicht differenzierbar)
(Einfach Quadrat in der Summe weglassen führt zu Varianz 0!)

Und was ist intuitiver? Beim quadratischen Fehler werden halt größere Fehler (>1) stärker "bestraft". Es kommt halt drauf an welcher Abstand am besten passt. Da hat sich halt die Varianz durchgestzt.

Genauere Gründe und Alternativuntersuchungen würden mich auch interessieren.

VG
Vega



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carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1030
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-11


Hallo wladimir_1989,


...beliebige gerade Potenz dass die Größe \(f(X)=\sum_{i=1}^n(X-X_i)^2\) gerade für \(X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) minimal wird.
Wo wird diese Eigenschaft verwendet bzw. wo braucht man das ?
Kannst du ein Beispiel geben ?

mfg
cx







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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1267
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-11


Hallo carlox,

2019-12-11 13:46 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo wladimir_1989,


...beliebige gerade Potenz dass die Größe \(f(X)=\sum_{i=1}^n(X-X_i)^2\) gerade für \(X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) minimal wird.
Wo wird diese Eigenschaft verwendet bzw. wo braucht man das ?
Kannst du ein Beispiel geben ?

mfg
cx


im Prinzip bedeutet das ja, dass bei diesem speziellen Streuungsmaß bezüglich eines unbekannten wahren Wertes X das arithmetische Mittel tatsächlich der beste Schätzwert für den wahren Wert ist, was ja unsere Intuition widerspiegelt. Das ist zumindest meine Interpretation für die Definition der Varianz.

lg Wladimir



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