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Universität/Hochschule Länge eines Moduls
baschwe31
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-18


Hallo zusammen, ich soll folgende Aufgabe bearbeiten:

 Bestimmen Sie die Länge des Q[t]-Moduls M := Q[t]/(t^24 −1)Q[t].

Als Hinweis war gegeben, dass wir die Kreisteilungspolynome benutzen sollen. Mithilfe dieser Polynome konnte ich nun das Polynom t^24-1 faktorisieren, aber mir ist nicht klar, wie die Restklassen der Faktoren ineinander liegen können, damit das ganze zu einer Kompositionsreihe wird.

Wäre über Tipps sehr dankbar.

MFG



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-18


Wenn $R$ irgendein Hauptidealring ist (in der Aufgabe $R = \IQ[T]$) und $p^k \in R$ eine Primpotenz ist, so ist die Länge von $R/p^k$ gleich $k$. Das kann man sich induktiv mit den exakten Sequenzen

$0 \to R/p^{k-1} \xrightarrow{\overline{p}} R/p^k \twoheadrightarrow R/p \to 0$

überlegen.

Ist nun allgemeiner $a \in R \setminus \{0\}$ beliebig und $a = u p_1^{k_1} \cdots p_s^{k_s}$ die Primfaktorzerlegung, so folgt mit dem chinesischen Restsatz

$R/\langle a \rangle \cong R/ \langle p_1^{k_1} \rangle \times \cdots \times R / \langle p_s^{k_s} \rangle.$

Die Länge ist also $k_1 + \cdots + k_s$.

Es würde mich nicht wundern, wenn ihr diese allgemeinen Überlegungen bereits in der Vorlesung behandelt habt; schau am besten einmal nach.

Jedenfalls bedeutet das für die konkrete Aufgabe, dass man nur die Primfaktorzerlegung von $ T^4 - 1 \in \IQ[T]$ bestimmen muss, und das geht ganz gut mit den Kreisteilungspolynomen.

Allgemeiner ist $T^n - 1 = \prod_{d ~ \mid ~ n} \Phi_d$ eine Primfaktorzerlegung, sodass die Länge von $\IQ[T] / \langle T^n - 1 \rangle$ gleich

$\sum_{d ~ \mid ~ n} 1 = \tau(n),$

der Zahl der Teiler von $n$ ist.



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