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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » DGLen verstehen
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Universität/Hochschule DGLen verstehen
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-26


Hallo Zusammen,

ich stecke mal wieder komplett fest - verstehe null!  frown

Das ist der Text:


1.) Ich verstehe nicht, wie die von I auf II kommen - wo kommt $z(x)$ her?

2.) Ich verstehe nicht, wie die von II auf III kommen.

Dann gibt es den Beweis dazu, der mir aber auch nicht hilft, den lasse ich mal weg.

Es folgt dann die Bemerkung:


3.) Da verstehe ich nicht, was die mit $u=\frac{y}{x} $ meinen und wieso es dann später "transformiert" $z=\frac{y}{x} $ heißt.

4.) Außerdem verstehe ich nicht, was die mit "auf den Halbgeraden $y = ux$ (...) haben alle Linienelemente die gleiche Richtung" gemeint ist, wo genau meinen die? Genau auf diesen schrägen Geraden selbst?


5.) Und schließlich kann ich auch nicht nachvollziehen, wieso behauptet wird, bei dem rechten Bild hätten die Linienelemente auf Parallelen zur x-Achse alle dieselbe Richtung - denn man sieht doch ganz deutlich, dass die Linienelemente im rechten Bild in der Nähe der y-Achse immer steiler werden, während sie parallel zur x-Achse weg von y-Achse laufend immer flacher werden.

Ich hoffe jemand hat den Nerv mir Licht ins Dunkel zu bringen... Bitte seid so nett und schreibt die Zahl meiner Frage dazu, damit ich zuordnen kann, worauf ihr Euch bezieht.

Danke.




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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-26


Hallo,
erstmal zu 1. und 2.:
Es bietet sich ja diesen Fall (und vielen dieser Art) an zu substituieren, damit man eine einfachere DGL gewinnt (beispiels könnte eine solche DGL y'=sin(x/y)). Also setzt man (beachte das es ja eigentlich y(x) heißt und man es in der DGL nur aus Bequemlichkeit als y notiert):$$z(x) = \frac{y(x)}{x} \Longleftrightarrow y(x)=xz(x)$$ Wenn für DGL eine Substitution durchführt, muss man auch beachten das die Ableitung (also y') ebenfalls anders sein muss, daher leitet man noch diese Substitution $y(x)=xz(x)$ nach x ab. Mit der Produktregel folgt: $$y'(x)=z(x)+xz'(x)$$ Wenn man das jetzt in die Ausgangs DGL einsetzt und z=y/x beachtet (und "von x" weglässt), folgt $$z+xz'=f(z) \Longleftrightarrow z'=\frac{1}{x}(f(z)-z)$$ U.U. kann sogar eine lineare DGL entstanden sein, aber nicht zwingend. Zumindest wird sie einfacher sein.

Grüße,
h



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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-27


Ergänzung:

man erhält sicher eine Dgl. mit getrennten Veränderlichen, die man mit Standardmethoden lösen kann.

Wally



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-31


2019-12-26 21:48 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 1 schreibt:
Es bietet sich ja diesen Fall (und vielen dieser Art) an zu substituieren, damit man eine einfachere DGL gewinnt (beispiels könnte eine solche DGL y'=sin(x/y)). Also setzt man (beachte das es ja eigentlich y(x) heißt und man es in der DGL nur aus Bequemlichkeit als y notiert):$$z(x) = \frac{y(x)}{x} \Longleftrightarrow y(x)=xz(x)$$ Wenn für DGL eine Substitution durchführt, muss man auch beachten das die Ableitung (also y') ebenfalls anders sein muss, daher leitet man noch diese Substitution $y(x)=xz(x)$ nach x ab.

Ah, verstanden. Hätte der Autor von "Substitution" und "$\frac{y}{x}=:z(x)$" gesprochen, dann hätte ich das gleich verstanden. *augenroll*

Danke.

Bei dem Rest brauche ich aber noch Hilfe. Kannst du noch den Absatz ab "Instruktiv ist noch..." für mich bitte dolmetschen?



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-04


Hi,
oh der Absatz ist wirklich etwas kryptisch geschrieben biggrin Wenn ich den Text richtig verstehe, ist das $u$ im Wesentlichen dasselbe wie $z$: $z$ ist ja eine Funktion $z(x,y)$ und die hat der Autor erst an der Funktion $u$ auf ihre Eigenschaften betrachtet.
Die Transformation $z=\frac{x}{y}$ bezieht sich auf die Substitution die wir vorgenommen hatten (jetzt also wieder auf unser Beispiel übertragen).

Das mit dem Linienelementen verstehe ich auch nicht so recht. Meint ihr damit das ganze normale $ds$?


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-04


Danke, dass du geantwortet hast, auch wenn du selbst unsicher bist! Besser als wenn gar keiner antwortet.

Zur Sache: Ich habe ehrlich keine Ahnung, was der Autor meint.

Zum Thema Richtungsfeld hatten wir im vorherigen Kapitel (als es noch um eine andere Form der DGL ging) diese Erklärung:



Hilft das?

Wenn nein, ich könnte dir per PN auch den gesamten Abschnitt als PDF schicken (was ich eigentlich nicht darf), aber ich brauche halt eine Erklärung von jemandem, was die meinen und mein Prof. schert sich nicht um die Studentenfragen.

Ich brauche halt im Prinzip noch die Antworten auf die Fragen 3.) bis 5.) in #1.

LG und Danke.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-04


Hi,
ich les morgen den Abschnitt durch und schaue ob ich was rausdeuten kann. Zu 3.) hab ich schon eine Erläuterung geschrieben, siehe ersten Absatz in  #4. Hilft das für 3.)?
Grüße,
h


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

wenn du das mit den Linienelementen nicht verstehst, liegt das daran, dass in der Vorlage Unsinn steht.

Die korrekt transformierte Dgl ist \(\D z'=-\frac{1}{x}\sqrt{1-z^2}\), und die Linienelement sind auf keiner Parallele zu einer Achse konstanter Steigung.

Wo stammt der seltsame Text denn her?

Wally
\(\endgroup\)


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05


Oha, nun steig ich ganz aus...



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