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Mathematik » Analysis » Beweis Diffeomorphismus
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis Diffeomorphismus
lanaluise
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-27


Hallo,
ich sitze gerade an folgendem Beweis und komme nicht ganz weiter:


fed-Code einblenden

Meine Überlegungen bisher sind:
Wenn fed-Code einblenden
Die Tatsache, dass für die Funktion u die Hessematrix positiv definit ist, bedeutet doch, dass auch u konvex ist.

Außerdem müsste f, dadurch, dass u eine C2 Funktion ist innerhalb C1 sein.

Ich verstehe hier nicht so ganz wie ich den Beweis angehen soll. Damit f ein Diffeomorphismus ist muss ja gelten:
-f bildet fed-Code einblenden fed-Code einblenden
-f fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Es wäre wirlich super, wenn mir hier jemand helfen könnte :)



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Shaqrament
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-27


Hallo lanaluise,
ich denke, du könntest wie folgt anfangen: Schreibe mit dem Fundamentalsatz der Analysis:
<math> \displaystyle f(y) - f(x) = \nabla u(y) - \nabla u(x) = \int^1_0 H_u(sy+(1-s)x)(y-x)~\text{d}s</math>
Damit hast du innerhalb des Integrals auch die Konvexität verwendet. Dann muss die Definition der Injektivität, also, dass aus <math>f(x) = f(y)</math> auch <math>x=y</math> folgt, verifiziert werden.
Und ja, <math>f \in C^1</math> ist trivial.

Beste Grüße



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lanaluise
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-27


Super, vielen Dank :)
Auf den Schritt mit den Fundamentalsatz bin ich einfach nicht gekommen. Wenn ich an dieser Stelle weitermache, so kann ich sagen, dass das Integral 0 sein muss. Dadurch, dass die Hessematrix größer 0 ist für alle x, y fed-Code einblenden
Damit wäre die Injektivität gezeigt.
Fehlt noch die Surjektivität.
Diese ist doch eigentlich auch gegeben dadurch, dass fed-Code einblenden
Ich habe hier ja gegeben, dass f(x)= fed-Code einblenden
fed-Code einblenden



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Shaqrament
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-28


Ja, die Surjektivität ist per Definition gegeben. Deine Rechtfertigung der Injektivität ist nur fast korrekt. Du musst mit dem Skalarprodukt argumentieren, weil positive Definitheit darüber definiert ist. Argumentiere also so: Gilt <math>f(x) = f(y)</math>, dann verschwindet das Skalarprodukt <math>\langle x-y \vert f(x) - f(y) \rangle</math>...
Die restliche Argumentation ist im Wesentlichen das, was du schon hast.

Beste Grüße,
Shaqrament



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lanaluise
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-29


Okay, dann versuche ich es nochmal: Wenn also f(x)=f(y) gilt, wird das Skalarprodukt fed-Code einblenden fed-Code einblenden



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Shaqrament
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-30


Richtig. Vielleicht solltest du noch eben das Skalarprodukt in das Integral ziehen, damit man die Argumentation deutlicher sieht, also:
<math>\displaystyle\int_0^1 \langle y-x\vert H_u(sy+(1-s)x)(y-x) \rangle~\text{d}s</math>

Viele Grüße



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